Ako vyhodnotiť úplné eliptické integrály: 7 krokov

Eliptické integrály sú špeciálne funkcie, ktoré sa vyskytujú v mnohých oblastiach matematiky a fyziky. Vo všeobecnosti sa tieto funkcie nedajú zapísať v podobe elementárnych funkcií. V tomto článku vyhodnotíme úplné eliptické integrály prvého a druhého druhu v podobe mocninových radov.

Odporúča sa, aby ste pred pokračovaním porozumeli funkcii Beta a s ňou súvisiacim funkciám.

Predpoklady

• Stránka úplný eliptický integrál prvého druhu
  ${\displaystyle K(k)}$

  vzniká pri hľadaní periódy kyvadla bez aproximácie malého uhla. Všimnite si, že niektorí autori sa môžu rozhodnúť definovať v pojmoch modul

  ${\displaystyle m=k^{2}.}$
  • ${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}}$
• Na stránke úplný eliptický integrál druhého druhu
  ${\displaystyle E(k)}$

  vzniká pri hľadaní dĺžky oblúka elipsy.

  • ${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}\mathrm {d} \phi }$

Kroky

Nastavte integrál, ktorý sa má vyhodnotiť. Najprv vyhodnotíme úplný eliptický integrál prvého druhu; druhý druh sa veľmi nelíši a používa rovnaké techniky. Vyhodnotíme trigonometrický tvar, ale všimnite si, že Jacobiho tvar je úplne ekvivalentný spôsob zápisu.

• ${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}}$

Zapíšte integrál v tvare binomického radu.

• Binomický rad je Taylorovým rozkladom pre výraz
  ${\displaystyle (1+x)^{\alfa }}$

  pre ľubovoľné reálne číslo

  ${\displaystyle \alpha .}$
  • ${\displaystyle (1+x)^{\alfa }=\sum _{m=0}^{\infty }{\alfa \choose m}x^{m}}$
• Integrand potom môžeme zapísať takto: identifikujeme
  ${\displaystyle x}$

  a

  ${\displaystyle \alpha ,}$

  a uistite sa, že ste vylúčili všetky členy, ktoré nie sú závislé od

  ${\displaystyle \phi .}$
  • ${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}\sum _{m=0}^{\infty }{-1/2 \choose m}(-1)^{m}k^{2m}\sin ^{2m}\phi \mathrm {d} \phi \\&=\sum _{m=0}^{\infty }{-1/2 \choose m}(-1)^{m}k^{2m}\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2m}\phi \mathrm {d} \phi \end{aligned}}}$
• Všimnite si, že tento integrál vyhodnocujeme člen po člene.

Vyhodnoťte integrál pomocou funkcie Beta.

• Najprv v prípade potreby rozložte binomické koeficienty v tvare funkcie Gamma. V opačnom prípade ho ponechajte vo forme faktoriálov. Pamätajte si, že
  ${\displaystyle m!=\Gamma (m+1).}$
  • ${\displaystyle {-1/2 \choose m}={\frac {\Gamma (1/2)}{m!\,\Gamma (1/2-m)}}}$
• Po druhé, pripomeňte si definíciu funkcie Beta v zmysle trigonometrických funkcií.
  • ${\displaystyle {\frac {\Gamma (\alfa )\Gamma (\beta )}{2\,\Gamma (\alfa +\beta )}}=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2\alfa -1}\phi \sin ^{2\beta -1}\phi \mathrm {d} \phi }$
• Identifikujeme
  ${\displaystyle \alpha =1/2}$

  a

  ${\displaystyle \beta =m+1/2.}$
  • ${\displaystyle K(k)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\Gamma (1/2)}{m!\,\Gamma (1/2-m)}}{\frac {\Gamma (1/2)\Gamma (1/2+m)}{2\,m!}}k^{2m}}$

Použite Eulerovu identitu odrazu a skutočnosť, že

$$Γ(1/2)=π{\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}

.

• Eulerova identita odrazu je uvedená nižšie.
  • ${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$
• Náš rad môžeme zjednodušiť pomocou tohto vzorca, ak necháme
  ${\displaystyle z=1/2+m.}$
  • ${\displaystyle \Gamma (1/2+m)\Gamma (1/2-m)={\frac {\pi }{\sin(\pi (1/2+m))}}}$
• Zjednodušíme si to ďalej tým, že zistíme, že
  ${\displaystyle (-1)^{m}\sin(\pi (1/2+m))=1}$

  pre všetky

  ${\displaystyle m.}$
  • ${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ^{2}(1/2+m)}{\pi (m!)^{2}}}k^{2m}}$

Použite dvojitú faktorovú identitu.

• Dvojnásobnú faktorovú identitu možno vzťahovať na gama funkciu nasledujúcim spôsobom. Odvodenie tejto identity nájdete v tipoch.
  • ${\displaystyle (2m-1)!!={\frac {2^{m}\Gamma (1/2+m)}{\sqrt {\pi }}}}$
• Tento rad potom môžeme zjednodušiť takto.
  • ${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{m=0}^{\infty }\left[{\frac {(2m-1)!!}{2^{m}m!}}\right]^{2}k^{2m}}$
• Tento rad sa dá zapísať aj len s dvojitými faktoriálmi, keď sa použije identita
  ${\displaystyle (2m)!!=2^{m}m!,}$

  s ktorým sa niekedy stretávame aj v literatúre.

  • ${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{m=0}^{\infty }\left[{\frac {(2m-1)!!}{(2m)!!}}\right]^{2}k^{2m}}$

Rozšírenie radu.

• ${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}k^{6}+\cdots \right]}$
• Tento rad má niekoľko vlastností, ktoré okamžite vyniknú. Najprv vidíme, že pre malé
  ${\displaystyle k,}$

  členy vyššieho rádu sú potlačené, najmä kvôli faktoriálom. Toto je odôvodnenie aproximácie malého uhla pri analýze kyvadla.

• Po druhé, jeho oblasť konvergencie je
  ${\displaystyle |k|<1.}$

  Keď

  ${\displaystyle k=1,}$

  integrál sa rozchádza, pretože faktoriály sa navzájom rušia vo veľkom

  ${\displaystyle m}$

  limit, hoci táto divergencia je veľmi pomalá –

  ${\displaystyle K(0.9999)\približne 5.645,}$

  napríklad.

• Fyzikálny príklad, kedy
  ${\displaystyle k=1}$

  je, keď sa kyvadlo uvoľní z uhla 180°, čo znamená nestabilný rovnovážny bod. Perióda, zapísaná vo forme tohto eliptického integrálu, sa potom rozchádza, pretože kyvadlo nikdy nespadne.

Overte rad pre úplný eliptický integrál druhého druhu. Pomocou techník uvedených v tomto článku možno nájsť aj mocninový rad pre tento integrál.

• ${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{m=0}^{\infty }\left[{\frac {(2m-1)!!}{(2m)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2m}}{1-2m}}}$
• ${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left[1-\left({\frac {1}{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}- \left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}}pravá)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}}pravá)^{2}{\frac {k^{6}}{5}}-\cdots \right]}$