Ako vyhodnotiť úplné eliptické integrály: 7 krokov

Eliptické integrály sú špeciálne funkcie, ktoré sa vyskytujú v mnohých oblastiach matematiky a fyziky. Vo všeobecnosti sa tieto funkcie nedajú zapísať v podobe elementárnych funkcií. V tomto článku vyhodnotíme úplné eliptické integrály prvého a druhého druhu v podobe mocninových radov.

Odporúča sa, aby ste pred pokračovaním porozumeli funkcii Beta a s ňou súvisiacim funkciám.

Predpoklady

  • Stránka úplný eliptický integrál prvého druhu
    K(k){\displaystyle K(k)}

    vzniká pri hľadaní periódy kyvadla bez aproximácie malého uhla. Všimnite si, že niektorí autori sa môžu rozhodnúť definovať v pojmoch modul

    m=k2.{\displaystyle m=k^{2}.}
    • K(k)=01dt(1t2)(1k2t2)=0π/2dϕ1k2sin2ϕ{\displaystyle K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}}
  • Na stránke úplný eliptický integrál druhého druhu
    E(k){\displaystyle E(k)}

    vzniká pri hľadaní dĺžky oblúka elipsy.

    • E(k)=011k2t21t2dt=0π/21k2sin2ϕdϕ{\displaystyle E(k)=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}\mathrm {d} \phi }

Kroky

Nastavte integrál, ktorý sa má vyhodnotiť. Najprv vyhodnotíme úplný eliptický integrál prvého druhu; druhý druh sa veľmi nelíši a používa rovnaké techniky. Vyhodnotíme trigonometrický tvar, ale všimnite si, že Jacobiho tvar je úplne ekvivalentný spôsob zápisu.

  • K(k)=0π/2dϕ1k2sin2ϕ{\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}}

Zapíšte integrál v tvare binomického radu.

  • Binomický rad je Taylorovým rozkladom pre výraz
    (1+x)α{\displaystyle (1+x)^{\alfa }}

    pre ľubovoľné reálne číslo

    α.{\displaystyle \alpha .}
    • (1+x)α=m=0(αm)xm{\displaystyle (1+x)^{\alfa }=\sum _{m=0}^{\infty }{\alfa \choose m}x^{m}}
  • Integrand potom môžeme zapísať takto: identifikujeme
    x{\displaystyle x}

    a

    α,{\displaystyle \alpha ,}

    a uistite sa, že ste vylúčili všetky členy, ktoré nie sú závislé od

    ϕ.{\displaystyle \phi .}
    • K(k)=0π/2dϕ1k2sin2ϕ=0π/2m=0(1/2m)(1)mk2msin2mϕdϕ=m=0(1/2m)(1)mk2m0π/2sin2mϕdϕ{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}\sum _{m=0}^{\infty }{-1/2 \choose m}(-1)^{m}k^{2m}\sin ^{2m}\phi \mathrm {d} \phi \\&=\sum _{m=0}^{\infty }{-1/2 \choose m}(-1)^{m}k^{2m}\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2m}\phi \mathrm {d} \phi \end{aligned}}}
  • Všimnite si, že tento integrál vyhodnocujeme člen po člene.

Vyhodnoťte integrál pomocou funkcie Beta.

  • Najprv v prípade potreby rozložte binomické koeficienty v tvare funkcie Gamma. V opačnom prípade ho ponechajte vo forme faktoriálov. Pamätajte si, že
    m!=Γ(m+1).{\displaystyle m!=\Gamma (m+1).}
    • (1/2m)=Γ(1/2)m!Γ(1/2m){\displaystyle {-1/2 \choose m}={\frac {\Gamma (1/2)}{m!\,\Gamma (1/2-m)}}}
  • Po druhé, pripomeňte si definíciu funkcie Beta v zmysle trigonometrických funkcií.
    • Γ(α)Γ(β)2Γ(α+β)=0π/2cos2α1ϕsin2β1ϕdϕ{\displaystyle {\frac {\Gamma (\alfa )\Gamma (\beta )}{2\,\Gamma (\alfa +\beta )}}=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2\alfa -1}\phi \sin ^{2\beta -1}\phi \mathrm {d} \phi }
  • Identifikujeme
    α=1/2{\displaystyle \alpha =1/2}

    a

    β=m+1/2.{\displaystyle \beta =m+1/2.}
    • K(k)=m=0(1)mΓ(1/2)m!Γ(1/2m)Γ(1/2)Γ(1/2+m)2m!k2m{\displaystyle K(k)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\Gamma (1/2)}{m!\,\Gamma (1/2-m)}}{\frac {\Gamma (1/2)\Gamma (1/2+m)}{2\,m!}}k^{2m}}

Použite Eulerovu identitu odrazu a skutočnosť, že

Γ(1/2)=π{\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}

.

  • Eulerova identita odrazu je uvedená nižšie.
    • Γ(z)Γ(1z)=πsin(πz){\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}
  • Náš rad môžeme zjednodušiť pomocou tohto vzorca, ak necháme
    z=1/2+m.{\displaystyle z=1/2+m.}
    • Γ(1/2+m)Γ(1/2m)=πsin(π(1/2+m)){\displaystyle \Gamma (1/2+m)\Gamma (1/2-m)={\frac {\pi }{\sin(\pi (1/2+m))}}}
  • Zjednodušíme si to ďalej tým, že zistíme, že
    (1)msin(π(1/2+m))=1{\displaystyle (-1)^{m}\sin(\pi (1/2+m))=1}

    pre všetky

    m.{\displaystyle m.}
    • K(k)=π2m=0Γ2(1/2+m)π(m!)2k2m{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ^{2}(1/2+m)}{\pi (m!)^{2}}}k^{2m}}

Použite dvojitú faktorovú identitu.

  • Dvojnásobnú faktorovú identitu možno vzťahovať na gama funkciu nasledujúcim spôsobom. Odvodenie tejto identity nájdete v tipoch.
    • (2m1)!!=2mΓ(1/2+m)π{\displaystyle (2m-1)!!={\frac {2^{m}\Gamma (1/2+m)}{\sqrt {\pi }}}}
  • Tento rad potom môžeme zjednodušiť takto.
    • K(k)=π2m=0[(2m1)!!2mm!]2k2m{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{m=0}^{\infty }\left[{\frac {(2m-1)!!}{2^{m}m!}}\right]^{2}k^{2m}}
  • Tento rad sa dá zapísať aj len s dvojitými faktoriálmi, keď sa použije identita
    (2m)!!=2mm!,{\displaystyle (2m)!!=2^{m}m!,}

    s ktorým sa niekedy stretávame aj v literatúre.

    • K(k)=π2m=0[(2m1)!!(2m)!!]2k2m{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{m=0}^{\infty }\left[{\frac {(2m-1)!!}{(2m)!!}}\right]^{2}k^{2m}}

Rozšírenie radu.

  • K(k)=π2[1+(12)2k2+(1324)2k4+(135246)2k6+]{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}k^{6}+\cdots \right]}
  • Tento rad má niekoľko vlastností, ktoré okamžite vyniknú. Najprv vidíme, že pre malé
    k,{\displaystyle k,}

    členy vyššieho rádu sú potlačené, najmä kvôli faktoriálom. Toto je odôvodnenie aproximácie malého uhla pri analýze kyvadla.

  • Po druhé, jeho oblasť konvergencie je
    |k|<1.{\displaystyle |k|<1.}

    Keď

    k=1,{\displaystyle k=1,}

    integrál sa rozchádza, pretože faktoriály sa navzájom rušia vo veľkom

    m{\displaystyle m}

    limit, hoci táto divergencia je veľmi pomalá –

    K(0.9999)5.645,{\displaystyle K(0.9999)\približne 5.645,}

    napríklad.

  • Fyzikálny príklad, kedy
    k=1{\displaystyle k=1}

    je, keď sa kyvadlo uvoľní z uhla 180°, čo znamená nestabilný rovnovážny bod. Perióda, zapísaná vo forme tohto eliptického integrálu, sa potom rozchádza, pretože kyvadlo nikdy nespadne.

  • Overte rad pre úplný eliptický integrál druhého druhu. Pomocou techník uvedených v tomto článku možno nájsť aj mocninový rad pre tento integrál.

    • E(k)=π2m=0[(2m1)!!(2m)!!]2k2m12m{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{m=0}^{\infty }\left[{\frac {(2m-1)!!}{(2m)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2m}}{1-2m}}}
    • E(k)=π2[1(12)2k21(1324)2k43(135246)2k65]{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left[1-\left({\frac {1}{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}- \left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}}pravá)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}}pravá)^{2}{\frac {k^{6}}{5}}-\cdots \right]}