Ako vypočítať apotémiu šesťuholníka: 15 krokov

Šesťuholník je šesťstranný mnohouholník. Keď je šesťuholník pravidelný, má šesť rovnakých dĺžok strán a apotémiu. Apotéma je úsečka zo stredu mnohouholníka do stredového bodu ktorejkoľvek strany. Pri výpočte plochy šesťuholníka je zvyčajne potrebné poznať dĺžku apotémy.[1]
Pokiaľ poznáte dĺžku strany šesťuholníka, môžete vypočítať dĺžku apotémy.

Metóda 1 z 2:Použitie Pytagorovej vety (daná dĺžka strany alebo polomer)


Rozdeľte šesťuholník na šesť zhodných rovnostranných trojuholníkov.[2]
Na tento účel nakreslite čiaru spájajúcu každý vrchol alebo bod s vrcholom oproti.


Vyberte si jeden trojuholník a označte dĺžku jeho základne. Táto hodnota sa rovná dĺžke strany šesťuholníka.

  • Napríklad môžete mať šesťuholník s dĺžkou strany 8 cm. Základňa každého rovnostranného trojuholníka je potom tiež 8 cm.


Vytvorte dva pravouhlé trojuholníky. Na tento účel narysujte z horného vrcholu rovnostranného trojuholníka priamku kolmú na jeho základňu. Táto priamka pretne základňu trojuholníka na polovicu (a je teda apotémou šesťuholníka). Označte dĺžku základne jedného z pravouhlých trojuholníkov.

  • Napríklad, ak je základňa rovnostranného trojuholníka 8 cm, keď trojuholník rozdelíte na dva pravouhlé trojuholníky, každý pravouhlý trojuholník má teraz základňu 4 cm.


Vytvorte vzorec pre Pytagorovu vetu. Vzorec je

a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

, kde

c{\displaystyle c}

sa rovná dĺžke hypotenzy (strany oproti pravému uhlu) a

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

sa rovnajú dĺžkam ostatných dvoch strán trojuholníka.

  • Napríklad, ak by mal pravouhlý trojuholník preponou
    2{\displaystyle 2}

    palcov, jedna noha

    1{\displaystyle 1}

    palca a ďalšia noha približne

    1.732{\displaystyle 1.732}

    palcov (

    3{\displaystyle {\sqrt {3}}}

    ), Pytagorova veta by stanovila, že

    12+32=22{\displaystyle 1^{2}+{\sqrt {3}}^{2}=2^{2}}

    , čo je pravda, keď dokončíte výpočty:

    1+3=4{\displaystyle 1+3=4}

    .


Dĺžku základne pravouhlého trojuholníka dosadíme do vzorca. Nahraďte

b{\displaystyle b}

.

  • Ak je dĺžka základne napríklad 4 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    a2+42=c2{\displaystyle a^{2}+4^{2}=c^{2}}

    .


Dĺžku prepony trojuholníka dosaďte do vzorca. Dĺžku hypotalisu poznáte, pretože poznáte dĺžku strany šesťuholníka. Dĺžka strany pravidelného šesťuholníka sa rovná polomeru šesťuholníka.[3]
Polomer je čiara, ktorá spája stredový bod mnohouholníka s jedným z jeho vrcholov.[4]
Všimnite si, že prepona vášho pravouhlého trojuholníka je zároveň polomerom šesťuholníka, teda dĺžka strany šesťuholníka sa rovná dĺžke prepony.

  • Ak je napríklad dĺžka strany šesťuholníka 8 cm, potom dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka je tiež 8 cm. Takže váš vzorec bude vyzerať takto:
    a2+42=82{\displaystyle a^{2}+4^{2}=8^{2}}

    .


Do vzorca dosaďte známe hodnoty do štvorca. Nezabudnite, že vynásobenie čísla štvorcom znamená vynásobenie čísla samým sebou.

  • Napríklad, ak známu hodnotu vyčíslite na štvorce, váš vzorec bude vyzerať takto:
    a2+16=64{\displaystyle a^{2}+16=64}

    .


Izolujte neznámu premennú. Ak to chcete urobiť, odčítajte štvorcovú hodnotu

b{\displaystyle b}

z oboch strán rovnice.

  • Napríklad:
    a2+1616=6416{\displaystyle a^{2}+16-16=64-16}

    a2=48{\displaystyle a^{2}=48}


Vyriešte

a{\displaystyle a}

. Na tento účel nájdite druhú odmocninu z každej strany rovnice. Takto získame dĺžku chýbajúcej strany trojuholníka, ktorá sa rovná dĺžke apotémy šesťuholníka.

  • Pomocou kalkulačky môžete napríklad vypočítať
    48=6.93{\displaystyle {\sqrt {48}}=6.93}

    . Chýbajúca dĺžka pravouhlého trojuholníka a dĺžka apotémy šesťuholníka sa teda rovná 6.93 cm.

Metóda 2 z 2:Použitie trigonometrie (daná dĺžka strany alebo polomer)


Stanovte vzorec na nájdenie apotémy pravidelného mnohouholníka. Vzorec je

apothem=s2tan(180n){\displaystyle {\text{apothem}}={\frac {s}{2\tan({\frac {180}{n}})}}}

, kde

s{\displaystyle s}

sa rovná dĺžke strany mnohouholníka a

n{\displaystyle n}

sa rovná počtu strán, ktoré má mnohouholník.[5]


Dĺžku strany dosadíme do vzorca. Nezabudnite nahradiť premennú

s{\displaystyle s}

.

  • Napríklad pre šesťuholník s dĺžkou strany 8 cm bude vzorec vyzerať takto:
    82tan(180n){\displaystyle {\frac {8}{2\tan({\frac {180}{n}})}}}

    .


Do vzorca dosaďte počet strán. Šesťuholník má 6 strán. Nezabudnite dosadiť premennú

n{\displaystyle n}

.

  • Napríklad:
    82tan(1806){\displaystyle {\frac {8}{2\tan({\frac {180}{6}})}}}

    .


Doplňte výpočet v zátvorkách. Zisťujete stupne, ktoré použijete na výpočet dotyčnice.

  • Napríklad,
    1806=30{\displaystyle {\frac {180}{6}}=30}

    , takže vzorec teraz vyzerá takto:

    82tan(30){\displaystyle {\frac {8}{2\tan(30)}}

    .


Nájdite dotyčnicu. Použite na to kalkulačku alebo trigonometrickú tabuľku.

  • Napríklad tangens k 30 je približne .577, takže vzorec bude teraz vyzerať takto:
    82(.577){\displaystyle {\frac {8}{2(.577)}}}

    .


  • Vynásobte dotyčnicu číslom 2 a potom týmto číslom vydeľte dĺžku strany. Tým získate dĺžku apotémy vášho šesťuholníka.

    • Napríklad:
      apothem=82(.577){\displaystyle {\text{apothem}}={\frac {8}{2(.577)}}}

      apotéma=81.154{\displaystyle {\text{apothem}}={\frac {8}{1.154}}}

      apotém=6.93{\displaystyle {\text{apothem}}=6.93}

      Takže apotéma pravidelného šesťuholníka so stranou 8 cm je približne 6.93 cm.

  • Odkazy