Ako vypočítať divergenciu a krivku: 12 krokov

Vo vektorovom počte sú divergencia a curl dva dôležité typy operátorov používaných na vektorových poliach. Keďže vektorové polia sú všadeprítomné, tieto dva operátory sú široko použiteľné vo fyzikálnych vedách.

Časť 1 z 2:Divergencia

Pochopte, čo je to divergencia. Divergencia je mierou zdroja alebo ponoru v konkrétnom bode. – Inými slovami, koľko prúdi do bodu alebo z bodu. Preto je definovaný len pre vektorové polia a jeho výstupom je skalár. Nižšie je uvedený príklad poľa s kladnou divergenciou.

  • Divergencia sa rozpozná podľa
    div{\displaystyle \operatorname {div} }

    alebo

    {\displaystyle \nabla \cdot }

    , kde bodka znamená podobnosť s bodovým súčinom.

Vezmite bodový súčin parciálnych derivácií so zložkami

F{\displaystyle \mathbf {F} }

, potom sa výsledky sčítajú. Toto platí pre vektorové polia

F=Fxx^+Fyy^+Fzz^{\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {\hat {x}} +F_{y}\mathbf {\hat {y}} +F_{z}\mathbf {\hat {z}} }

definované len v karteziánskych súradniciach.

  • F=(x,y,z)(Fx,Fy,Fz)=Fxx+Fyy+Fzz{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x}, F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}

Ako referenciu použite nižšie uvedené vzorce. Ak vektorové pole

F{\displaystyle \mathbf {F} }

je uvedený vo valcovom

(ρ,ϕ,z){\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}

alebo sférické súradnice

(r,θ,ϕ){\displaystyle (r,\theta ,\phi )}

(kde

θ{\displaystyle \theta }

je polárny uhol), potom divergencia nemá jednoduchý tvar.

  • Fxx+Fyy+Fzz{\displaystyle {\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}
  • 1ρ(ρFρ)ρ+1ρFϕϕ+Fzz{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho F_{\rho })}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}
  • 1r2(r2Fr)r+1rsinθθ(Fθsinθ)+1rsinθFϕϕ{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}F_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(F_{\theta }\sin \theta )+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}}

Vypočítajte divergenciu nasledujúcej funkcie.

  • F=(3x25x2y4)x^+(xy4z2sin(2x2z3))y^+(5z2+yz)z^{\displaystyle \mathbf {F} =(3x^{2}-5x^{2}y^{4})\mathbf {\hat {x}} +(xy^{4}z^{2}-\sin(2x^{2}z^{3}))\mathbf {\hat {y}} +(5z^{2}+yz)\mathbf {\hat {z}} }
  • F=6x10xy4+4xy3z2+y+10z{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =6x-10xy^{4}+4xy^{3}z^{2}+y+10z}
  • Ako vidíte, mapovali sme vektorové pole na skalárne pole.

Časť 2 z 2:Curl


Pochopte, čo je curl. Curl, definovaný pre vektorové polia, je intuitívne veľkosť obehu v ľubovoľnom bode. Výstupom operátora je iné vektorové pole. Vír v reálnom živote pozostáva z vody, ktorá sa správa ako vektorové pole s nenulovou krivkou. Vyššie je uvedený príklad poľa so zápornou curl (pretože sa otáča v smere hodinových ručičiek).

  • Curl sa rozpozná podľa
    curl{\displaystyle \operatorname {curl} }

    alebo

    ×{\displaystyle \nabla \times }

    , kde symbol krát znamená podobnosť krížového súčinu.

Nastavte determinant. Kudrlinka funkcie je podobná krížovému súčinu dvoch vektorov, preto sa operátor curl označuje a

×.{\displaystyle \nabla \times .}

Ako predtým, táto mnemotechnická pomôcka funguje len vtedy, ak

F{\displaystyle \mathbf {F} }

je definovaný v karteziánskych súradniciach.

  • ×F=|x^y^z^/x/y/zFxFyFz|{\displaystyle \nabla \časy \mathbf {F} ={\začiatok{vmatrix}\mathbf {\hat {x}} &\mathbf {\hat {y}} &\mathbf {\hat {z}} \\\časť /\časť x&\partial /\partial y&\partial /\partial z\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

Nájdite determinant matice. Nižšie to urobíme kofaktorovým rozšírením (rozšírenie pomocou mínusov).

  • ×F=(FzyFyz)x^(FzxFxz)y^+(FyxFxy)z^{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {x}} -\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {y}} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {\hat {z}} }

Ako referenciu použite nižšie uvedené vzorce. Curl nemá jednoduchý tvar, ak

F{\displaystyle \mathbf {F} }

je v cylindrických alebo sférických súradniciach.

  • (FzyFyz)x^(FzxFxz)y^+(FyxFxy)z^{\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {x}} -\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {y}} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {\hat {z}} }
  • (1ρFzϕFϕz)ρ^(FzρFρz)ϕ^+1ρ((ρFϕ)ρFρϕ)z^{\displaystyle \left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}-\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}- {\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}\pravo){\boldsymbol {\hat {\phi }}}+{\frac {1}{\rho }}\levo({\frac {\partial (\rho F_{\phi })}{\partial \rho }}- {\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \phi }}\right)\mathbf {\hat {z}} }
  • 1rsinθ(θ(Fϕsinθ)Fθϕ)r^1r(r(rFϕ)1sinθFrϕ)θ^+1r(r(rFθ)Frθ)ϕ^{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r\sin \theta }}\levo({\frac {\partial }{\partial \theta }}(F_{\phi }\sin \theta )-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \phi }}\pravo)\mathbf {\hat {r}} &-{\frac {1}{r}}({\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{\phi })-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \phi }}}\\pravo){\boldsymbol {\hat {\theta }}}\&+{\frac {1}{r}}\levo({\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{\theta })-{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}}\pravo){\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{aligned}}}

Vypočítajte curl nasledujúcej funkcie.

  • F=(5x2y27xz3)x^+(4x5xyy4)y^+(xz+z2)z^{\displaystyle \mathbf {F} =(5x^{2}y^{2}-7xz^{3})\mathbf {\hat {x}} +(4x-5xy-y^{4})\mathbf {\hat {y}} +(xz+z^{2})\mathbf {\hat {z}} }

Nastavte determinant.

  • ×F=|x^y^z^/x/y/zFxFyFz|{\displaystyle \nabla \časy \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {\hat {x}} &\mathbf {\hat {y}} &\mathbf {\hat {z}} \\\parciálny /\parciálny x&\časť /\časť y&\časť /\časť z\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}
    • Fx=5x2y27xz3{\displaystyle F_{x}=5x^{2}y^{2}-7xz^{3}}
    • Fy=4x5xyy4{\displaystyle F_{y}=4x-5xy-y^{4}}
    • Fz=xz+z2{\displaystyle F_{z}=xz+z^{2}}

Vypočítajte determinant.

  • (FzyFyz)x^=00{\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {x}} =0-0}
  • (FzxFxz)y^=z(21xz2){\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {y}} =z-(-21xz^{2})}
  • (FyxFxy)z^=(45y)10x2y{\displaystyle \left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {\hat {z}} =(4-5y)-10x^{2}{y}}
  • Dôjsť k odpovedi.

    • ×F=(z+21xz2)y^+(45y10x2y)z^{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =-(z+21xz^{2})\mathbf {\hat {y}} +(4-5y-10x^{2}y)\mathbf {\hat {z}} }
    • Všimnite si, že sme sa premietli do iného vektorového poľa.