Ako vypočítať Fibonacciho postupnosť (s obrázkami)

Fibonacciho postupnosť je vzorec čísel vytvorený súčtom predchádzajúcich dvoch čísel v postupnosti. Čísla v postupnosti sa často vyskytujú v prírode a v umení, predstavujú ich špirály a zlatý rez. Najjednoduchší spôsob výpočtu postupnosti je zostavenie tabuľky; to je však nepraktické, ak hľadáte napríklad 100. člen postupnosti, v takom prípade možno použiť Binetov vzorec.

Metóda 1 z 2:Použitie tabuľky


Vytvorte tabuľku s dvoma stĺpcami. Počet riadkov bude závisieť od toho, koľko čísel Fibonacciho postupnosti chcete vypočítať.

  • Napríklad, ak chcete nájsť piate číslo v postupnosti, vaša tabuľka bude mať päť riadkov.
  • Pri použití tabuľkovej metódy nemôžete nájsť náhodné číslo ďalej v postupnosti bez toho, aby ste vypočítali všetky čísla pred ním. Ak chcete nájsť napríklad 100. číslo v postupnosti, musíte najprv vypočítať 1. až 99. číslo. Preto metóda tabuľky funguje dobre len pre čísla na začiatku postupnosti.


Do ľavého stĺpca zadajte postupnosť výrazov. To znamená, že stačí zadať postupnosť poradových čísel, začínajúc „1.“

  • Tento výraz sa vzťahuje na číslo pozície vo Fibonacciho postupnosti.
  • Ak chcete napríklad zistiť piate číslo v postupnosti, napíšete 1., 2., 3., 4., 5. do ľavého stĺpca. Zobrazí sa vám, aké sú prvé až piate členy v postupnosti.


Do prvého riadku pravého stĺpca napíšte 1. Toto je východiskový bod Fibonacciho postupnosti. Inými slovami, prvý člen v postupnosti je 1.

  • Správna Fibonacciho postupnosť začína vždy na 1. Ak začínate iným číslom, nenachádzate správny vzor Fibonacciho postupnosti.


Súčet prvého člena (1) a 0. Takto získate druhé číslo v postupnosti.

  • Pamätajte si, že ak chcete nájsť ľubovoľné číslo vo Fibonacciho postupnosti, jednoducho spočítajte dve predchádzajúce čísla v postupnosti.
  • Aby ste vytvorili postupnosť, mali by ste myslieť na to, že 0 je pred 1 (prvý člen), takže 1 + 0 = 1.


Sčítajte prvý člen (1) a druhý člen (1). Tým získame tretie číslo v poradí.

  • 1 + 1 = 2. Tretí člen je 2.


Sčítaním druhého člena (1) a tretieho člena (2) získate štvrté číslo v postupnosti.

  • 1 + 2 = 3. Štvrtý člen je 3.


Sčítajte tretí člen (2) a štvrtý člen (3). Tým získate piate číslo v postupnosti.

  • 2 + 3 = 5. je piaty člen 5.


Súčtom predchádzajúcich dvoch čísel nájdete ľubovoľné dané číslo vo Fibonacciho postupnosti. Pri použití tejto metódy používate vzorec

Fn=Fn1+Fn2{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

.[1]
Keďže však nejde o uzavretý vzorec, nemôžete ho použiť na výpočet ktoréhokoľvek člena postupnosti bez toho, aby ste vypočítali všetky predchádzajúce čísla.

Metóda 2 z 2:Použitie Binetovho vzorca a zlatého rezu


Nastavenie vzorca

xn{\displaystyle x_{n}}

=

ϕn(1ϕ)n5{\displaystyle {\frac {\phi ^{n}-(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}}

. Vo vzorci,

xn{\displaystyle x_{n}}

= výraz v postupnosti, ktorý sa snažíte nájsť,

n{\displaystyle n}

= číslo pozície člena v postupnosti a

ϕ{\displaystyle \phi }

= zlatý rez.[2]

  • Ide o uzavretý vzorec, takže budete môcť vypočítať konkrétny člen postupnosti bez toho, aby ste museli vypočítať všetky predchádzajúce členy.
  • Tento vzorec je zjednodušený vzorec odvodený z Binetovho vzorca pre Fibonacciho čísla.[3]
  • Vzorec využíva zlatý rez (
    ϕ{\displaystyle \phi }

    ), pretože pomer ľubovoľných dvoch po sebe idúcich čísel Fibonacciho postupnosti je veľmi podobný zlatému rezu.[4]


Zapojte číslo pre

n{\displaystyle n}

do vzorca. Stránka

n{\displaystyle n}

predstavuje akýkoľvek výraz, ktorý hľadáte v postupnosti.

  • Ak napríklad hľadáte piate číslo v postupnosti, vložte doň 5. Váš vzorec bude teraz vyzerať takto:
    x5{\displaystyle x_{5}}

    =

    ϕ5(1ϕ)55{\displaystyle {\frac {\phi ^{5}-(1-\phi )^{5}}{\sqrt {5}}}}

    .


Do vzorca dosaďte zlatý rez. Môžete použiť 1.618034 ako aproximácia zlatého rezu.[5]

  • Ak napríklad hľadáte piate číslo v poradí, vzorec bude teraz vyzerať takto:
    x5{\displaystyle x_{5}}

    =

    (1.618034)5(11.618034)55{\displaystyle {\frac {(1.618034)^{5}-(1-1.618034)^{5}}{\sqrt {5}}}}

    .


Doplňte výpočty v zátvorkách. Nezabudnite použiť poradie operácií tak, že najprv doplníte výpočet v zátvorkách:

11.618034=0.618034{\displaystyle 1-1.618034=-0.618034}

.

  • V tomto príklade sa rovnica stáva
    x5{\displaystyle x_{5}}

    =

    (1.618034)5(0.618034)55{\displaystyle {\frac {(1.618034)^{5}-(-0.618034)^{5}}{\sqrt {5}}}}

    .


Vypočítajte exponenty. Vynásobte dve čísla v zátvorkách v čitateli príslušným exponentom.

  • V príklade,
    1.6180345=11.090170{\displaystyle 1.618034^{5}=11.090170}

    ;

    0.6180345=0.090169{\displaystyle -0.618034^{5}=-0.090169}

    . Takže rovnica sa stáva

    x5=11.090170(0.090169)5{\displaystyle x_{5}={\frac {11.090170-(-0.090169)}{\sqrt {5}}}}

    .


Dokončite odčítanie. Pred delením musíte odčítať dve čísla v čitateli.

  • V príklade,
    11.090170(0.090169)=11.180339{\displaystyle 11.090170-(-0.090169)=11.180339}

    , takže rovnica sa stáva

    x5{\displaystyle x_{5}}

    =

    11.1803395{\displaystyle {\frac {11.180339}{\sqrt {5}}}}

    .


Delenie druhou odmocninou z 5. Zaokrúhlená odmocnina z čísla 5 je 2.236067.

  • V príkladovom probléme,
    11.1803392.236067=5.000002{\displaystyle {\frac {11.180339}{2.236067}}=5.000002}

    .


  • Zaokrúhľujte na najbližšie celé číslo. Vaša odpoveď bude desatinná, ale bude veľmi blízka celému číslu. Toto celé číslo predstavuje číslo vo Fibonacciho postupnosti.

    • Ak by ste použili úplný zlatý rez a nezaokrúhľovali, dostali by ste celé číslo. Praktickejšie je však zaokrúhľovať, čo bude mať za následok desatinné číslo.[6]
    • V tomto príklade, po použití kalkulačky na dokončenie všetkých výpočtov, bude vaša odpoveď približne 5.000002. Po zaokrúhlení na najbližšie celé číslo je vaša odpoveď, ktorá predstavuje piate číslo Fibonacciho postupnosti, 5.
  • Odkazy