Ako vypočítať kombinácie: 8 krokov (s obrázkami)

Permutácie a kombinácie majú využitie na hodinách matematiky a v každodennom živote. Našťastie sa dajú ľahko vypočítať, keď viete, ako. Na rozdiel od permutácií, kde záleží na poradí skupín, pri kombináciách na poradí nezáleží.[1]
Kombinácie hovoria o tom, koľkými spôsobmi je možné kombinovať daný počet predmetov v skupine. Na výpočet kombinácií stačí poznať počet predmetov, z ktorých vyberáme, počet predmetov, ktoré máme vybrať, a či je povolené opakovanie (v najbežnejšej forme tejto úlohy je opakovanie nie povolené).

Metóda 1 z 2:Výpočet kombinácií bez opakovania


Uvažujme príklad úlohy, v ktorej na poradí nezáleží a opakovanie nie je povolené. V tomto type problému nepoužijete ten istý prvok viac ako raz.

  • Napríklad môžete mať 10 kníh a chceli by ste zistiť počet spôsobov, ako spojiť 6 z týchto kníh na vašej polici. V takom prípade nie záleží na poradí – chcete len vedieť, ktoré skupiny kníh by ste mohli zobraziť za predpokladu, že danú knihu použijete len raz.
  • Tento druh problému sa často označuje ako
    nCr{\displaystyle {}_{n}C_{r}}

    ,

    C(n,r){\displaystyle C(n,r)}

    ,

    (nr){\displaystyle {\binom {n}{r}}}

    , alebo „n vybrať r„.

  • Vo všetkých týchto zápisoch,
    n{\displaystyle n}

    je počet položiek, z ktorých máte na výber (vaša vzorka) a

    r{\displaystyle r}

    je počet položiek, ktoré sa chystáte vybrať.[2]


Poznajte vzorec:

nCr=n!(nr)!r!{\displaystyle {}_{n}C_{r}={\frac {n!}{(n-r)!r!}}}

.[3]
[4]

  • Vzorec je podobný vzorcu pre permutácie, ale nie je presne rovnaký. Permutácie možno nájsť pomocou
    nPr=n!(nr)!{\displaystyle {}_{n}P_{r}={\frac {n!}{(n-r)!}}}

    . Vzorec pre kombinácie je trochu odlišný, pretože už nezáleží na poradí; preto vzorec pre permutácie vydelíte

    n!{\displaystyle n!}

    s cieľom odstrániť nadbytočné kombinácie.[5]
    V podstate redukujete výsledok o počet možností, ktoré by sa považovali za inú permutáciu, ale rovnakú kombináciu (pretože pri kombináciách nezáleží na poradí).[6]
    [7]


Zapojte svoje hodnoty pre

n{\displaystyle n}

a

r{\displaystyle r}

.

  • V uvedenom prípade by ste dostali tento vzorec:
    nCr=10!(106)!6!{\displaystyle {}_{n}C_{r}={\frac {10!}{(10-6)!6!}}}

    . Zjednodušilo by sa to na

    nCr=10!(4!)(6!){\displaystyle {}_{n}C_{r}={\frac {10!}{(4!)(6!)}}}

    .


Vyriešte rovnicu, aby ste zistili počet kombinácií. Môžete to urobiť buď ručne, alebo pomocou kalkulačky.

  • Ak máte k dispozícii kalkulačku, nájdite nastavenie faktoriálu a použite ho na výpočet počtu kombinácií. Ak používate kalkulačku Google, kliknite na x! tlačidlo vždy po zadaní potrebných číslic.
  • Ak musíte riešiť ručne, nezabudnite, že pre každý faktoriál začnete s hlavným daným číslom a potom ho vynásobíte ďalším najmenším číslom a tak ďalej, až kým sa nedostanete k 0.
    • V tomto príklade môžete vypočítať 10! s (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), čím dostaneme 3 628 800. Nájdi 4! s (4 * 3 * 2 * 1), čo dáva 24. Nájdite 6! (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), čo vám dáva 720.
    • Potom vynásobte dve čísla, ktoré spolu tvoria súčet položiek. V tomto príklade by ste mali mať 24 * 720, takže 17 280 bude váš menovateľ.
    • Vydeľte faktoriál súčtu menovateľom, ako je opísané vyššie: 3,628,800/17,280.
  • V uvedenom prípade by ste dostali 210. To znamená, že existuje 210 rôznych spôsobov, ako skombinovať knihy na poličke bez opakovania, pričom na poradí nezáleží.

Metóda 2 z 2:Výpočet kombinácií s opakovaním


Uvažujme príklad problému, kde na poradí nezáleží, ale je povolené opakovanie. V tomto type problému môžete použiť tú istú položku viac ako raz.

  • Predstavte si napríklad, že si objednáte 5 položiek z jedálneho lístka, ktorý ponúka 15 položiek; na poradí vášho výberu nezáleží a nevadí vám, že dostanete násobky tej istej položky (i.e., opakovanie je povolené).
  • Tento druh problému možno označiť ako
    n+r1Cr{\displaystyle {}_{n+r-1}C_{r}}

    . Vo všeobecnosti by ste použili

    n{\displaystyle n}

    na vyjadrenie počtu možností, z ktorých si môžete vybrať, a

    r{\displaystyle r}

    na vyjadrenie počtu položiek, ktoré sa chystáte vybrať.[8]
    Pamätajte, že v tomto type problému je povolené opakovanie a poradie nie je dôležité.

  • Toto je najmenej častý a najmenej zrozumiteľný typ kombinácie alebo permutácie, ktorý sa vo všeobecnosti neučí tak často.[9]
    Tam, kde je zakrytý, sa často označuje aj ako k-výber, a k-viacnásobná množina, alebo k-kombinácia s opakovaním.[10]


Poznajte vzorec:

n+r1Cr=(n+r1)!(n1)!r!{\displaystyle {}_{n+r-1}C_{r}={\frac {(n+r-1)!}{(n-1)!r!}}}

.[11]
[12]


Zapojte svoje hodnoty pre

n{\displaystyle n}

a

r{\displaystyle r}

.

  • V uvedenom prípade by ste mali tento vzorec:
    n+r1Cr=(15+51)!(151)!5!{\displaystyle {}_{n+r-1}C_{r}={\frac {(15+5-1)!}{(15-1)!5!}}}

    . Zjednodušilo by sa to na

    n+r1Cr=19!(14!)(5!){\displaystyle {}_{n+r-1}C_{r}={\frac {19!}{(14!)(5!)}}}

    .


  • Vyriešte rovnicu, aby ste zistili počet kombinácií. Môžete to urobiť buď ručne, alebo pomocou kalkulačky.

    • Ak máte k dispozícii kalkulačku, nájdite nastavenie faktoriálu a pomocou neho vypočítajte počet kombinácií. Ak používate kalkulačku Google, kliknite na x! tlačidlo vždy po zadaní potrebných číslic.
    • Ak musíte riešiť ručne, majte na pamäti, že pre každý faktoriál začnete s hlavným daným číslom a potom ho vynásobíte ďalším najmenším číslom a tak ďalej, až kým sa nedostanete k 0.
    • V prípade tohto príkladového problému by vaše riešenie malo byť 11,628. Existuje 11 628 rôznych spôsobov, ako si môžete objednať ľubovoľných 5 položiek z výberu 15 položiek v jedálnom lístku, pričom na poradí nezáleží a opakovanie je povolené.
  • Odkazy