Ako vypočítať koreň kocky ručne (s obrázkami)

S použitím kalkulačiek môže byť nájdenie kubickej odmocniny ľubovoľného čísla len tlačidlami. Ale možno nemáte kalkulačku alebo chcete urobiť dojem na svojich priateľov schopnosťou vypočítať odmocninu z kocky ručne. Existuje postup, ktorý sa na prvý pohľad zdá trochu prácny, ale s praxou funguje pomerne ľahko. Je užitočné, ak si zapamätáte niektoré základné matematické zručnosti a trochu algebry o kockových číslach.

Časť 1 z 3:Práca s ukážkovým problémom koreňa kocky


Nastavenie problému. Riešenie odmocniny z čísla bude vyzerať ako riešenie úlohy na dlhé delenie s niekoľkými špeciálnymi rozdielmi. Prvým krokom je zostaviť úlohu v správnom formáte.[1]

  • Napíšte číslo, ktorého kubický koreň chcete nájsť. Napíšte číslice v skupinách po troch, pričom ako začiatočné miesto použite desatinnú čiarku. V tomto príklade budete hľadať kubickú koreň čísla 10. Zapíšte to ako 10. 000 000. Dodatočné nuly slúžia na zabezpečenie presnosti riešenia.
  • Nakreslite nad číslo znamienko radikálu kocky. Slúži to na rovnaký účel ako riadok s dlhým delením. Jediným rozdielom je tvar symbolu.
  • Umiestnite desatinnú čiarku nad čiarou, priamo nad desatinnú čiarku v pôvodnom čísle.


Poznajte kocky jednociferných čísel. Tieto údaje použijete pri výpočtoch. Tieto kocky sú nasledovné:

  • 13=111=1{\displaystyle 1^{3}=1*1*1=1}
  • 23=222=8{\displaystyle 2^{3}=2*2*2=8}
  • 33=333=27{\displaystyle 3^{3}=3*3*3=27}
  • 43=444=64{\displaystyle 4^{3}=4*4*4=64}
  • 53=555=125{\displaystyle 5^{3}=5*5*5=125}
  • 63=666=216{\displaystyle 6^{3}=6*6*6=216}
  • 73=777=343{\displaystyle 7^{3}=7*7*7=343}
  • 83=888=512{\displaystyle 8^{3}=8*8*8=512}
  • 93=999=729{\displaystyle 9^{3}=9*9*9=729}
  • 103=101010=1000{\displaystyle 10^{3}=10*10*10=1000}


Nájdite prvú číslicu svojho riešenia. Vyberte číslo, ktoré po vydelení kubickou súčtou dáva najväčší možný výsledok menší ako prvá skupina troch čísel.[2]

  • V tomto príklade je prvým súborom troch čísel 10. Nájdite najväčšiu dokonalú kocku, ktorá je menšia ako 10. Toto číslo je 8 a jeho kubická odmocnina je 2.
  • Napíšte číslo 2 nad riadok radikálu, nad číslo 10. Napíšte hodnotu
    23{\displaystyle 2^{3}}

    , čo je 8, pod číslo 10 nakreslite čiaru a odčítajte, rovnako ako pri dlhom delení. Výsledok je 2.

  • Po odčítaní máte prvú číslicu vášho riešenia. Musíte sa rozhodnúť, či je táto jedna číslica dostatočne presným výsledkom. Vo väčšine prípadov to nebude. Môžete to skontrolovať vyčíslením jednej číslice v kocke a rozhodnúť, či je to dostatočne blízko k požadovanému výsledku. Tu, pretože
    23{\displaystyle 2^{3}}

    je len 8, čo nie je veľmi blízko k 10, mali by ste pokračovať.


Nastavte sa na hľadanie ďalšej číslice. Do zvyšku opíšte ďalšiu skupinu troch čísel a na ľavú stranu výsledného čísla nakreslite malú zvislú čiaru. Toto bude základné číslo pre nájdenie ďalšej číslice v riešení vašej odmocniny. V tomto príklade by to malo byť číslo 2000, ktoré je vytvorené zo zvyšku 2 z predchádzajúceho odčítania, so skupinou troch 0, ktoré stiahnete nadol.[3]

  • Naľavo od zvislej čiary budete riešiť ďalšieho deliteľa ako súčet troch samostatných čísel. Priestory pre tieto čísla nakreslite tak, že urobíte tri prázdne podčiarkovania, medzi ktorými budú symboly plus.


Nájdite začiatok ďalšieho deliteľa. Pre prvú časť deliteľa zapíšte tristo násobok štvorca toho, čo je na vrchole znamienka radikálu. V tomto prípade je číslo hore 2, 2^2 je 4 a 4*300=1200. Takže do prvého miesta napíšte 1200. Deliteľ pre tento krok riešenia bude 1200 plus niečo, čo nájdete ďalej.[4]


Nájdite ďalšie číslo v riešení odmocniny z kocky. Nájdite ďalšiu číslicu svojho riešenia tak, že vyberiete, čo môžete vynásobiť deliteľom, teda 1200-niečo, a potom od zvyšku 2000 odčítať. Môže to byť len 1, pretože 2 krát 1200 by bolo 2400, čo je viac ako 2000. Na ďalšie miesto nad znamienkom radikálu napíšte číslo 1.[5]


Určite zvyšok deliteľa. Deliteľ pre tento krok riešenia sa skladá z troch častí. Prvá časť je 1200, ktorú už máte. K tomuto číslu musíte pridať ďalšie dva členy, aby ste doplnili deliteľa.[6]

  • Teraz vypočítajte 3 krát 10 krát každú z dvoch číslic, ktoré sú vo vašom riešení nad znamienkom radikálu. Pre túto vzorovú úlohu to znamená 3*10*2*1, čo je 60. Pripočítajte ho k 1200, ktoré už máte, a dostanete 1260.
  • Nakoniec pripočítajte druhú číslicu posledného čísla. V tomto príklade je to 1 a 1^2 je stále 1. Celkový deliteľ je teda 1200+60+1, teda 1261. Napíšte to na ľavú stranu zvislej čiary.


Vynásobte a odčítajte. Dokončite toto kolo riešenia vynásobením poslednej číslice vášho riešenia – v tomto prípade čísla 1 – deliteľom, ktorý ste práve vypočítali, teda 1261. 1*1261 =1261. Napíšte to pod 2000 a odčítajte, aby ste dostali 739.


Rozhodnite sa, či budete pokračovať pre väčšiu presnosť. Po dokončení odčítacej časti každého kroku musíte zvážiť, či je vaša odpoveď dostatočne presná. V prípade odmocniny z 10 po prvom odčítaní bola vaša odmocnina práve 2, čo nie je veľmi presné. Teraz, po druhom kole, je riešenie 2.1.[7]

  • Presnosť tohto výsledku si môžete overiť tak, že vydelíte 2 v kocke.1*2.1*2.1. Výsledok je 9.261.
  • Ak si myslíte, že váš výsledok je dostatočne presný, môžete skončiť. Ak chcete presnejšiu odpoveď, musíte pokračovať v ďalšom kole.


Nájdite deliteľa pre ďalšie kolo. V tomto prípade si pre viac cviku a presnejšiu odpoveď zopakujte kroky pre ďalšie kolo nasledovne: [8]

  • Vypíšte ďalšiu skupinu troch číslic. V tomto prípade sú to tri nuly, ktoré budú nasledovať po zvyšku 739 a dajú 739 000.
  • Začnite deliteľom s 300-násobkom štvorca čísla, ktoré je aktuálne nad radikálovou čiarou. To je
    300212{\displaystyle 300*21^{2}}

    , čo je 132 300.

  • Zvoľte ďalšiu číslicu vášho riešenia tak, aby ste ju mohli vynásobiť číslom 132 300 a mali menej ako 739 000 vášho zvyšku. Dobrá voľba by bola 5, pretože 5*132 300=661 500. Na ďalšie miesto nad radikálovou čiarou napíšte číslicu 5.
  • Nájdite 3-násobok predchádzajúceho čísla nad radikálnou čiarou, 21, krát posledná číslica, ktorú ste práve napísali, 5, krát 10. To dáva
    321510=3,150{\displaystyle 3*21*5*10=3,150}

    .

  • Nakoniec odmocnite poslednú číslicu. Toto je
    52=25.{\displaystyle 5^{2}=25.}
  • Súčtom častí vášho deliteľa získate 132,300+3,150+25=135,475.


Vynásobte deliteľa číslom vášho riešenia. Po vypočítaní deliteľa pre toto ďalšie kolo a rozšírení vášho riešenia o ďalšiu číslicu postupujte nasledovne:

  • Vynásobte deliteľ poslednou číslicou vášho riešenia. 135475*5=677,375.
  • Odpočítajte. 739,000-677,375=61,625.
  • Zvážte, či riešenie 2.15 je dostatočne presné. Vypočítajte ju kockou a dostanete
    2.152.152.15=9.94{\displaystyle 2.15*2.15*2.15=9.94}

    .


Zapíšte svoju konečnú odpoveď. Výsledok nad radikálom je odmocnina z kocky, v tomto bode presná na tri platné čísla. V tomto príklade je odmocnina z 10 2.15. Overte si to výpočtom 2.15^3=9.94, čo je približne 10. Ak potrebujete väčšiu presnosť, jednoducho pokračujte v procese tak dlho, ako si želáte.

Časť 2 z 3:Hľadanie koreňov kocky opakovaným odhadom


Použite kockové čísla na stanovenie hornej a dolnej hranice. Ak ste požiadaní o koreň kocky takmer ľubovoľného čísla, začnite výberom dokonalej kocky, ktorá je čo najbližšie k cieľovému číslu bez toho, aby ho prekročila.

  • Ak chcete napríklad nájsť kubickú odmocninu z čísla 600, spomeňte si (alebo použite tabuľku kubických čísel), že
    83=512{\displaystyle 8^{3}=512}

    a

    93=729{\displaystyle 9^{3}=729}

    . Preto riešenie pre odmocninu z čísla 600 musí byť niečo medzi 8 a 9. Ako hornú a dolnú hranicu riešenia použijete čísla 512 a 729.


Odhadnite ďalšiu číslicu. Prvá číslica pochádza z vašich vedomostí o niektorých kockových číslach. Pre ďalšiu číslicu odhadnite nejaké číslo medzi 0 a 9 na základe toho, kde sa vaše cieľové číslo nachádza medzi týmito dvoma hraničnými číslami.

  • V pracovnom príklade sa cieľová hodnota 600 nachádza približne v polovici medzi hraničnými číslami 512 a 729. Takže za ďalšiu číslicu vyberte 5.


Otestujte svoj odhad vynásobením kubickou súčtou. Skúste vynásobiť odhad, s ktorým práve pracujete, aby ste zistili, ako blízko sa dostanete k cieľovému číslu.

  • V tomto príklade vynásobte
    8.58.58.5=614.1.{\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.}


Upravte svoj odhad podľa potreby. Po vynásobení vášho posledného odhadu kubíkom skontrolujte, kde padne výsledok v porovnaní s vaším cieľovým číslom. Ak je výsledok vyšší ako cieľová hodnota, budete musieť svoj odhad znížiť o jeden alebo viac. Ak je výsledok nižší ako cieľová hodnota, môže byť potrebné upraviť ho smerom nahor, kým neprekročíte cieľovú hodnotu.

  • Napríklad v tomto probléme,
    8.53{\\displayystyle 8.5^{3}}

    je väčšie ako cieľové číslo 600. Takže by ste mali znížiť odhad na 8.4. Vypočítajte toto číslo v kocke a porovnajte ho so svojím cieľom. Zistíte, že

    8.48.48.4=592.7{\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7}

    . To je teraz menej ako váš cieľ. Preto viete, že odmocnina z čísla 600 musí byť aspoň 8.4, ale menej ako 8.5.


Odhadnite ďalšiu číslicu pre väčšiu presnosť. V tomto procese odhadovania číslic od 0 do 9 budete pokračovať dovtedy, kým vaša odpoveď nebude taká presná, ako chcete, aby bola. Pri každom kole odhadu začnite tým, že si všimnete, ako sa váš posledný výpočet pohybuje medzi hraničnými číslami.

  • V tomto pracovnom príklade posledné kolo výpočtov ukazuje, že
    8.43=592.7{\displaystyle 8.4^{3}=592.7}

    , while

    8.53=614.1{\displaystyle 8.5^{3}=614.1}

    . Cieľová hodnota 600 je o niečo bližšie k hodnote 592 ako k hodnote 614. Pri ďalšom hádaní teda začnite výberom čísla, ktoré je o niečo menšie ako polovica medzi 0 a 9. Dobrý odhad by bol 4, pre odhad kocky 8.44.


Pokračujte v testovaní svojho odhadu a upravte ho. Koľkokrát je to potrebné, nakrájajte svoj odhad na kocky a zistite, ako sa porovnáva s vaším cieľom. Chcete nájsť čísla, ktoré sú tesne pod a tesne nad cieľovým číslom.

  • V tomto pracovnom príklade začnite zistením, že
    8.448.448.44=601.2{\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2}

    . To je len tesne nad cieľovou hodnotou, takže klesnite a otestujte 8.43. Takto získate

    8.438.438.43=599.07{\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07}

    . Preto viete, že odmocnina z čísla 600 je niečo viac ako 8.43 a menej ako 8.44.


Pokračujte tak dlho, ako je potrebné pre presnosť. Pokračujte v krokoch odhadovania, porovnávania a opätovného odhadovania tak dlho, kým vaše riešenie nebude tak presné, ako si želáte. Všimnite si, že s každým desatinným miestom sa vaše cieľové čísla budú čoraz viac približovať k skutočnému číslu.

  • V prípade príkladu s odmocninou z čísla 600, keď ste použili dve desatinné miesta, 8.43, od cieľového čísla ste sa vzdialili o menej ako 1. Ak by ste pokračovali na tretie desatinné miesto, zistili by ste, že
    8.4343=599.93{\displayystyle 8.434^{3}=599.93}

    , menší ako 0.1 zo správnej odpovede.

Časť 3 z 3:Pochopenie toho, ako tento výpočet funguje


Preskúmajte binomický rozklad. Aby ste pochopili, prečo tento algoritmus funguje pri hľadaní kociek kocky, musíte si najprv pripomenúť, ako vyzerá kubický rozklad dvojčlena. Pravdepodobne ste sa to učili v algebre alebo v algebre II na strednej škole (a ak ste ako väčšina ľudí, pravdepodobne ste to čoskoro zabudli). Vyberte dve premenné

A{\displaystyle A}

a

B{\displaystyle B}

na reprezentáciu jednociferných čísel. Potom vytvorte binóm

(10A+B){\displaystyle (10A+B)}

na reprezentáciu dvojciferného čísla.[9]

  • Použitie výrazu
    10A{\displaystyle 10A}

    je to, čo vytvára dvojciferné číslo. akúkoľvek číslicu vyberiete pre

    A{\displaystyle A}

    ,

    10A{\displaystyle 10A}

    zaradí túto číslicu do stĺpca desiatok. Napríklad, ak

    A{\displaystyle A}

    je 2 a

    B{\displaystyle B}

    je 6, potom

    (10A+B){\displaystyle (10A+B)}

    sa stáva 26.[10]


Rozložte binomické číslo na kocku. Pracujeme tu spätne, najprv vytvoríme kocku, aby sme potom videli, prečo riešenie pre korene kocky funguje. Potrebujeme nájsť hodnotu

(10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}}

. Urobíte to tak, že vynásobíte

(10A+B)(10A+B)(10A+B){\displaystyle (10A+B)*(10A+B)*(10A+B)}

. Je to príliš dlhé na to, aby sme to tu ukázali, ale konečný výsledok je

1000A3+300A2B+30AB2+B3{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}}

.[11]

  • Viac informácií o rozširovaní binómu na získanie tohto výsledku nájdete v časti Násobenie binómu. Pokročilejšiu, skrátenú verziu nájdete v článku Výpočet (x+y)^n pomocou Pascalovho trojuholníka.


Rozpoznať význam algoritmu dlhého delenia. Všimnite si, že metóda výpočtu odmocniny funguje ako dlhé delenie. Pri dlhom delení nájdete dva činitele, ktoré sa spolu vynásobia a dajú súčin čísla, ktorým začínate. V tomto výpočte je číslo, ktoré riešite (číslo, ktoré sa nachádza na vrchole znamienka radikálu), odmocnina z kocky. To znamená, že predstavuje člen (10A+B). Skutočné A a B sú teraz nepodstatné, stačí, ak si uvedomíte vzťah k odpovedi.[12]


Preskúmajte rozšírenú verziu. Keď sa pozriete na rozšírený polynóm, vidíte, prečo algoritmus na výpočet koreňa kocky funguje. Uvedomte si, že deliteľom každého kroku algoritmu je súčet štyroch členov, ktoré musíte vypočítať a sčítať. Tieto výrazy vznikajú takto: [13]

  • Prvý člen obsahuje násobok čísla 1000. Najskôr číslo, ktoré by sa dalo vydeliť kockou a zostať v rozsahu pre dlhé delenie pre prvú číslicu. To poskytuje výraz 1000A^3 v binomickom rozšírení.
  • Druhý člen binomického rozkladu má koeficient 300. (Toto vlastne pochádza z
    3102{\displaystyle 3*10^{2}}

    .) Pripomeňme si, že pri výpočte odmocniny sa prvá číslica v každom kroku vynásobí číslom 300.

  • Druhá číslica v každom kroku výpočtu kubickej odmocniny pochádza z tretieho člena binomického rozšírenia. V binomickom rozšírení môžete vidieť člen 30AB^2.
  • Poslednou číslicou každého kroku je výraz B^3.

  • Pozrite sa, ako presnosť rastie. Pri vykonávaní algoritmu dlhého delenia každý krok, ktorý vykonáte, poskytuje väčšiu presnosť vašej odpovede. Napríklad vzorová úloha spracovaná v tomto článku je nájsť odmocninu z čísla 10. V prvom kroku je riešenie práve 2, pretože

    23{\displaystyle 2^{3}}

    je blízko, ale menej ako 10. V skutočnosti,

    23=8{\displaystyle 2^{3}=8}

    . Po druhom kole dostanete riešenie 2.1. Keď to vypracujete,

    2.13=9.261{\displaystyle 2.1^{3}=9.261}

    , čo je oveľa bližšie k požadovanej hodnote 10. Po treťom kole máte 2.15, čo dáva

    2.153=9.94{\\dispozícia 2.15^{3}=9.94}

    . Môžete pokračovať v práci v skupinách po troch čísliciach, aby ste získali takú presnú odpoveď, akú potrebujete.[14]

  • Odkazy