Ako vypočítať Laplaceovu transformáciu funkcie: 10 krokov

Laplaceova transformácia je integrálna transformácia, ktorá sa používa pri riešení diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi. Táto transformácia je mimoriadne užitočná aj vo fyzike a technike.

Hoci sú tabuľky Laplaceových transformácií bežne dostupné, je dôležité pochopiť vlastnosti Laplaceovej transformácie, aby ste si mohli zostaviť vlastnú tabuľku.

Predbežné informácie

  • Nech
    f(t){\displaystyle f(t)}

    byť funkcia definovaná pre

    t0.{\displaystyle t\geq 0.}

    Potom definujeme Laplaceova transformácia

    f(t){\displaystyle f(t)}

    ako nasledujúcu funkciu pre každú hodnotu

    s{\displaystyle s}

    kde integrál konverguje.

    • F(s)=L{f(t)}=0f(t)estdt{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t}
  • Použitím Laplaceovej transformácie na funkciu transformujeme funkciu z oblasti t (alebo časovej oblasti) do oblasti s (alebo Laplaceovej oblasti), kde
    F(s){\displaystyle F(s)}

    je komplexná funkcia komplexnej premennej. Týmto spôsobom transformujeme problém do oblasti, ktorá sa, dúfajme, ľahšie rieši v.

  • Je zrejmé, že Laplaceova transformácia je lineárny operátor, takže môžeme uvažovať transformáciu súčtu členov tak, že urobíme každý integrál zvlášť.
    • 0[af(t)+bg(t)]estdt=a0f(t)estdt+b0g(t)estdt{\displaystyle \int _{0}^{\infty }[af(t)+bg(t)]e^{-st}\mathrm {d} t=a\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t+b\int _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\mathrm {d} t}
  • Nezabudnite, že Laplaceova transformácia existuje len vtedy, ak integrál konverguje. Ak je funkcia
    f(t){\displaystyle f(t)}

    je kdekoľvek nespojitý, musíme byť veľmi opatrní, aby sme zabezpečili rozdelenie hraníc integrálu, aby sme sa vyhli zväčšeniu.

Časť 1 z 3: Základy

Nahraďte funkciu do definície Laplaceovej transformácie. Koncepčne je výpočet Laplaceovej transformácie funkcie veľmi jednoduchý. Použijeme príklad funkcie

f(t)=eat{\displaystyle f(t)=e^{at}}

kde

a{\displaystyle a}

je (komplexná) konštanta taká, že

Re(s)<Re(a).{\displaystyle \operatorname {Re} (s)<\operačný názov {Re} (a).}
  • L{eat}=0eatestdt{\displaystyle {\mathcal {L}}\{e^{at}\}=\int _{0}^{\infty }e^{at}e^{-st}\mathrm {d} t}

Vyhodnoťte integrál akýmkoľvek možným spôsobom. V našom príklade je naše vyhodnotenie mimoriadne jednoduché a stačí nám použiť základnú vetu kalkulu. V iných zložitejších prípadoch sa môžu použiť techniky ako integrácia častí alebo diferenciácia podľa integrálu. Naše obmedzenie, že

Re(s)<Re(a){\displaystyle \operatorname {Re} (s)<\názov operátora {Re} (a)}

znamená, že integrál konverguje, i.e. klesá na 0, keď

t.{\displaystyle t\to \infty .}
  • L{eat}=0e(as)tdt=e(as)tas|0=1sa{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{e^{at}\}&=\int _{0}^{\infty }e^{(a-s)t}\mathrm {d} t\\&={\frac {e^{(a-s)t}}{a-s}}{\Bigg |}_{0}^{\infty }\\&={\frac {1}{s-a}}\end{aligned}}}
  • Všimnite si, že takto dostaneme dve Laplaceove transformácie „zadarmo“: funkcie sínus a kosínus, ak uvažujeme príbuznú funkciu
    eiat{\displaystyle e^{iat}}

    prostredníctvom Eulerovho vzorca. V menovateli potom máme

    sia,{\displaystyle s-ia,}

    a zostáva už len zobrať reálnu a imaginárnu časť tohto výsledku. Mohli by sme tiež len priamo vyhodnotiť, ale to by si vyžadovalo trochu viac práce.

    • L{cosat}=Re(1sia)=ss2+a2{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\cos at\}=\operátorname {Re} \left({\frac {1}{s-ia}}\right)={\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}}
    • L{sinat}=Im(1sia)=as2+a2{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\sin at\}=\operátorname {Im} \left({\frac {1}{s-ia}}\right)={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}}

Vyhodnoťte Laplaceovu transformáciu výkonovej funkcie. Predtým, ako budeme pokračovať, musíme určiť transformáciu mocninovej funkcie, pretože vlastnosť linearity nám umožňuje určiť transformáciu pre všetky polynómy. Výkonová funkcia je funkcia

tn,{\displaystyle t^{n},}

kde

n{\displaystyle n}

je ľubovoľné kladné celé číslo. Môžeme použiť integráciu po častiach na určenie rekurzívneho pravidla.

  • L{tn}=0tnestdt=nsL{tn1}{\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{n}\}=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-st}\mathrm {d} t={\frac {n}{s}}{\mathcal {L}}{t^{n-1}}}
  • Náš výsledok nie je napísaný explicitne, ale zo substitúcie niekoľkých hodnôt
    n,{\displaystyle n,}

    vznikne jasný vzorec (vyskúšajte si to sami), z ktorého môžeme určiť nasledujúci výsledok.

    • L{tn}=n!sn+1{\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{n}\}={\frac {n!}{s^{n+1}}}}
  • Laplaceove transformácie zlomkových mocnín môžeme určiť aj pomocou funkcie Gamma. To nám umožňuje nájsť transformácie funkcií ako napr
    f(t)=t.{\displaystyle f(t)={\sqrt {t}}.}
    • L{tn}=Γ(n+1)sn+1{\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{n}\}={\frac {\Gamma (n+1)}{s^{n+1}}}}
    • L{t1/2}=Γ(3/2)s3/2=π2ss{\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{1/2}}={\frac {\Gamma (3/2)}{s^{3/2}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2s{\sqrt {s}}}}}
  • Hoci funkcie so zlomkovými mocninami musia obsahovať vetné rezy (pripomeňme si, že pre ľubovoľné komplexné čísla
    z{\displaystyle z}

    a

    α,{\displaystyle \alpha ,}

    prepíšeme

    zα{\displaystyle z^{\alpha }}

    ako

    eαLogz{\displaystyle e^{\alpha \operatorname {Log} z}}

    ), môžeme ich vždy definovať tak, aby rezy vetiev ležali v ľavej polrovine, aby sme sa vyhli problémom s analytickosťou.

Časť 2 z 3:Vlastnosti Laplaceovej transformácie

Určte Laplaceovu transformáciu funkcie vynásobenej

eat{\displaystyle e^{at}}

. Výsledky v predchádzajúcej časti nám umožnili nahliadnuť na niektoré zaujímavé vlastnosti Laplaceovej transformácie. Laplaceova transformácia funkcií ako kosínus, sínus a exponenciálna funkcia sa zdá byť jednoduchšia ako transformácia mocninovej funkcie. Uvidíme, že násobenie

eat{\displaystyle e^{at}}

v oblasti t zodpovedá a posun v s-doméne.

  • L{eatf(t)}=0f(t)e(sa)tdt=F(sa){\displaystyle {\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-(s-a)t}\mathrm {d} t=F(s-a)}
  • Táto vlastnosť nám okamžite umožňuje nájsť transformácie funkcií ako
    f(t)=e3tsin2t{\displaystyle f(t)=e^{3t}\sin 2t}

    bez toho, aby sme museli priamo vyhodnocovať integrál.

    • L{e3tsin2t}=2(s3)2+4{\displaystyle {\mathcal {L}}\{e^{3t}\sin 2t\}={\frac {2}{(s-3)^{2}+4}}}

Určte Laplaceovu transformáciu funkcie vynásobenej

tn{\displaystyle t^{n}}

. Uvažujme o násobení

t{\displaystyle t}

prvý. Potom z definície môžeme diferencovať podľa integrálu a získať prekvapivo čistý výsledok.

  • L{tf(t)}=0tf(t)estdt=0f(t)sestdt=dds0f(t)estdt=dFds{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{tf(t)\}&=\int _{0}^{\infty }tf(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&=-\int _{0}^{\infty }f(t){\frac {\partial }{\partial s}}e^{-st}\mathrm {d} t\\&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&=-{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} s}}\koniec{aligned}}}
  • Opakovaním tohto postupu dostaneme všeobecný výsledok.
    • L{tnf(t)}=(1)ndnFdsn{\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}F}{\mathrm {d} s^{n}}}}
  • Výmena operátorov integrálu a diferenciácie si vyžaduje trochu zdôvodnenia, pokiaľ ide o prísnosť, ale nebudeme ju tu zdôvodňovať, len poznamenajme, že operácia je povolená, pokiaľ naša konečná odpoveď dáva zmysel. Trochu útechy možno hľadať v tom, že
    s{\displaystyle s}

    a

    t{\displaystyle t}

    sú premenné, ktoré sú navzájom nezávislé.

  • Samozrejme, že pomocou tejto vlastnosti možno Laplaceove transformácie funkcií ako napr
    t2cos2t{\displaystyle t^{2}\cos 2t}

    sa dajú ľahko nájsť bez toho, aby bolo potrebné opakovane používať integráciu po častiach.

    • L{t2cos2t}=d2ds2ss2+4=2s324s(s2+4)3{\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{2}\cos 2t\}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} s^{2}}}{\frac {s}{s^{2}+4}}={\frac {2s^{3}-24s}{(s^{2}+4)^{3}}}}

Určte Laplaceovu transformáciu roztiahnutej funkcie

f(at){\displaystyle f(at)}

. Pomocou definície môžeme túto transformáciu ľahko určiť aj pomocou u-substitúcie.

  • L{f(at)}=0f(at)estdt,  u=at=1a0f(u)esu/adu=1aF(sa){\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{f(at)\}&=\int _{0}^{\infty }f(at)e^{-st}\mathrm {d} t,\ \ u=at\\&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{\infty }f(u)e^{-su/a}\mathrm {d} u\\&={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)\end{aligned}}
  • Predtým sme našli Laplaceove transformácie
    sinat{\displaystyle \sin at}

    a

    cosat{\displaystyle \cos at}

    z exponenciálnej funkcie priamo. Túto vlastnosť môžeme využiť na dosiahnutie rovnakého výsledku, pričom vychádzame z nájdenia reálnej a imaginárnej časti

    Leit}=1si{\displaystyle {\mathcal {L}}\{e^{it}}={\frac {1}{s-i}}}

    .

Určte Laplaceovu transformáciu derivácie

f(t){\displaystyle f^{\prime }(t)}

. Na rozdiel od našich predchádzajúcich výsledkov, ktoré ušetrili trochu práce pri integrovaní po častiach, sme musí tu použite integráciu po častiach.

  • L{f(t)}=0f(t)estdt,  u=est, dv=f(t)dt=f(t)est|0+s0f(t)estdt=sF(s)f(0){\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{f^{\prime }(t)\}&=\int _{0}^{\infty }f^{\prime }(t)e^{-st}\mathrm {d} t,\ \ u=e^{-st},\ \mathrm {d} v=f^{\prime }(t)\mathrm {d} t\\&=f(t)e^{-st}{\Big |}_{0}^{\infty }+s\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&=sF(s)-f(0)\end{aligned}}}
  • Keďže druhá derivácia sa vyskytuje v mnohých fyzikálnych aplikáciách, uvádzame aj Laplaceovu transformáciu druhej derivácie.
    • L{f(t)}=s2F(s)sf(0)f(0){\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{\prime \prime }(t)\}=s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)}
  • Vo všeobecnosti sa ukazuje, že Laplaceova transformácia n-tej derivácie je daná nasledujúcim výsledkom. Tento výsledok je dôležitý pri riešení diferenciálnych rovníc prostredníctvom Laplaceovej transformácie.
    • L{f(n)(t)}=snF(s)k=0n1snk1f(k)(0){\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-\sum _{k=0}^{n-1}s^{n-k-1}f^{(k)}(0)}

Časť 3 z 3:Metódy série

Určte Laplaceovu transformáciu periodickej funkcie. Periodická funkcia je funkcia, ktorá spĺňa vlastnosť

f(t)=f(t+nT),{\displaystyle f(t)=f(t+nT),}

kde

T{\displaystyle T}

je perióda funkcie a

n{\displaystyle n}

je celé kladné číslo. Periodické funkcie sa objavujú v mnohých aplikáciách pri spracovaní signálov a v elektrotechnike. Pomocou menšej manipulácie dostaneme nasledujúcu odpoveď.

  • L{f(t)}=0f(t)estdt=n=0nT(n+1)Tf(t)estdt=n=00Tf(t+nT)es(t+nT)dt=n=0esnT0Tf(t)estdt=11esT0Tf(t)estdt{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{f(t)\}&=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{nT}^{(n+1)T}f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{T}f(t+nT)e^{-s(t+nT)}\mathrm {d} t\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-snT}\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{1-e^{-sT}}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\end{aligned}}}
  • Vidíme, že Laplaceova transformácia periodickej funkcie súvisí s Laplaceovou transformáciou jedného cyklu funkcie.

Pozri článok o výpočet Laplaceovej transformácie prirodzeného logaritmu. Tento integrál nemožno vyhodnotiť pomocou základnej vety kalkulu, pretože antiderivát nemožno vyjadriť v termínoch elementárnych funkcií. V článku sa rozoberá technika využívajúca gama funkciu a jej rôzne radové expanzie na vyhodnotenie prirodzeného logaritmu a jeho vyšších mocnín. Prítomnosť Eulerovej-Mascheroniho konštanty

γ{\displaystyle \gamma }

stačí naznačiť, že integrál sa musí vyhodnocovať pomocou sériových metód.

  • L{lnt}=γ+lnss{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\ln t\}=-{\frac {\gamma +\ln s}{s}}}
  • Vyhodnotiť Laplaceovu transformáciu (nenormalizovanej) funkcie sinc. Funkcia sinc

    sinc(t)=sintt{\displaystyle \operatorname {sinc} (t)={\frac {\sin t}{t}}}

    je funkcia, s ktorou sa často stretávame pri spracovaní signálov a ktorú možno rozpoznať z diferenciálnych rovníc ako ekvivalentnú sférickej Besselovej funkcii prvého druhu nultého rádu

    j0(x).{\displaystyle j_{0}(x).}

    Laplaceovu transformáciu tejto funkcie tiež nemožno vypočítať štandardným spôsobom. Uchýlime sa k transformácii po členoch, čo je prípustné, pretože jednotlivé členy sú mocninové funkcie, a preto ich transformácie určite konvergujú na predpísanom intervale.

    • Začneme zápisom Taylorovho radu tejto funkcie.
      • sintt=n=0(1)nt2n(2n+1)!{\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}t^{2n}}{(2n+1)!}}}
    • Teraz jednoducho transformujeme pomocou Laplaceovej transformácie mocninovej funkcie, ktorú poznáme. Faktoriály sa rušia a po pohľade na náš výraz rozpoznáme Taylorov rad inverzného tangensu, striedavý rad, ktorý vyzerá ako Taylorov rad pre funkciu sínus, ale bez faktoriálov.
      • L{sintt}=n=0(1)n(2n)!(2n+1)!1s2n+1=n=0(1)n2n+11s2n+1=tan11s{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {\sin t}{t}}\right\}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(2n+1)!}}{\frac {1}{s^{2n+1}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}{\frac {1}{s^{2n+1}}}\\&=\tan ^{-1}{\frac {1}{s}}\end{aligned}}}