Ako vypočítať Laplaceovu transformáciu prirodzeného logaritmu

Laplaceova transformácia je integrálna transformácia široko používaná na riešenie diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi. Transformácie sú zvyčajne veľmi jednoduché, ale existujú funkcie, ktorých Laplaceove transformácie sa nedajú ľahko nájsť pomocou elementárnych metód.

V tomto článku si ukážeme, ako získať Laplaceovu transformáciu prirodzeného logaritmu pomocou expanzie funkcie Gamma, a uvidíme, ako sa tieto techniky dajú použiť na nájdenie Laplaceových transformácií príbuzných funkcií. Preto sa odporúča, aby ste sa pred pokračovaním oboznámili s týmito technikami.

Kroky

Časť 1 z 2:Prirodzený logaritmus

Začnite s integrálom. Toto je integrál, ktorý zahŕňa logaritmickú funkciu. Tento integrál nevyrieši žiadna integrácia po častiach, u-substitúcia ani žiadna iná technika, ktorú sme sa naučili na úvodných hodinách matematiky, pretože tento integrál nemá antiderivát, ktorý by sa dal zapísať v termínoch elementárnych funkcií.

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln te^{-st}\mathrm {d} t}$

Urobte u-sub

$$u=st{\displaystyle u=st}

. Podľa vlastností logaritmu sa integrál rozdelí na dve časti. Túto hodnotu možno ľahko vyhodnotiť pomocou fundamentálnej vety, pretože

${\displaystyle s}$

je nezávislý od

${\displaystyle u.}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{s}}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {u}{s}}\right)e^{-u}\mathrm {d} u={\frac {1}{s}}\int _{0}^{\infty }\ln ue^{-u}\mathrm {d} u-{\frac {\ln s}{s}}}$

Uvažujme radový rozklad funkcie Gamma. Tu je potrebné zvážiť dva dôležité vzorce.

• Prvý je uvedený nižšie. Je to vzorec, ktorý vyjadruje logaritmus funkcie Gama ako nekonečný rad. Tento vzorec je odvodený z definície nekonečného súčinu (pozri tipy), kde
  ${\displaystyle \epsilon }$

  je malé číslo,

  ${\displaystyle \gamma \aprox 0.577…}$

  je Eulerova-Mascheroniho konštanta a

  ${\displaystyle \zeta (j)}$

  je Riemannova zeta funkcia. (S tou sumárnou časťou si nerobte starosti – ukazuje sa, že pre to, čo budeme robiť, nebude dôležitá.)

  • ${\displaystyle \ln \Gamma (1+\epsilon )=-\gamma \epsilon +\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}\zeta (j)}{j}}\epsilon ^{j}}$
• Druhá definícia pochádza priamo z integrálnej definície funkcie Gama, Legendrov výraz. Integrál prepíšeme tak, aby sme exponent zapísali pomocou
  ${\displaystyle e}$

  v základe a prepíšeme ho v tvare Taylorovho radu.

  • ${\displaystyle \Gamma (1+\epsilon )=\int _{0}^{\infty }x^{\epsilon }e^{-x}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }\ln ^{n}xe^{-x}\mathrm {d} x}$
• Opäť platí, že ak nepoznáte integrály zahŕňajúce funkciu gama, vrelo odporúčame, aby ste si ich prešli.

Nájdite koeficient

$$ϵ{\displaystyle \epsilon }

. Konkrétne,

${\displaystyle \epsilon }$

na prvú mocninu. Dôvodom je, že integrál, ktorý chceme vypočítať, je v koeficiente Taylorovho radu funkcie Gama. Konkrétny integrál, ktorý chceme, stanovuje

${\displaystyle n=1,}$

takže na vyhodnotenie integrálu musíme tieto dva výrazy vyrovnať. Najprv sa pozrieme na prvý vzorec a zoberieme exponent oboch strán.

• ${\displaystyle \Gamma (1+\epsilon )=\exp \left(-\gamma \epsilon +\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}\zeta (j)}{j}}\epsilon ^{j}\right)}$
• Keďže
  ${\displaystyle \epsilon }$

  je malé číslo, môžeme bezpečne zanedbať všetky členy vyššieho rádu, pretože budú klesať rýchlejšie. Preto sa nemusíme zaoberať sumárnou časťou, ktorá začína na druhom stupni.

  • ${\displaystyle \Gamma (1+\epsilon )\aprox e^{-\gamma \epsilon }\aprox 1-\gamma \epsilon }$

Vyhodnoťte integrál v kroku 2 vyrovnaním koeficientov. Kombináciou našich predchádzajúcich výsledkov sme dospeli k Laplaceovej transformácii prirodzeného logaritmu.

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln ue^{-u}\mathrm {d} u=-\gamma }$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\ln t\}=-{\frac {\gamma +\ln s}{s}}}$
• Je zrejmé, že metóda uvedená v tomto článku sa dá použiť na riešenie veľkého množstva integrálov tohto druhu. Konkrétne ide o druhy uvedené nižšie, kde
  ${\displaystyle a}$

  a

  ${\displaystyle b}$

  sú celé čísla a

  ${\displaystyle a,\,b,}$

  a

  ${\displaystyle c}$

  sú konštanty také, že integrál konverguje.

  • ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{a}\ln ^{b}xe^{-cx}\mathrm {d} x}$
• Aj keď je konečný výsledok trochu nezvyčajný kvôli prítomnosti Eulerovej-Mascheroniho konštanty, vlastnosti Laplaceovej transformácie, ako sú vlastnosti posunu a derivácie, stále fungujú. Napríklad, keď poznáme pôvodný výsledok, môžeme okamžite odvodiť výsledky, ako je uvedený nižšie.
  • ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{e^{2t}\ln t\}=-{\frac {\gamma +\ln(s-2)}{s-2}}}$

Časť 2 z 2:Zovšeobecnenia

Vypočítajte Laplaceovu transformáciu

$$f(t)=ln2t{\displaystyle f(t)=\ln ^{2}t}

. Druhá mocnina na logu znamená, že musíme nájsť koeficient

${\displaystyle \epsilon ^{2}}$

v našom rozšírení. Z koncepčného hľadiska je to veľmi jednoduché – jednoducho ponecháme členy do druhého rádu. Algebra je však trochu zložitejšia. Okrem toho sú pre nás výhodné vlastnosti logaritmu len vtedy, keď je mocnina na logaritme 1. K tomuto integrálu teda budeme musieť pristupovať priamejšie.

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln ^{2}te^{-st}\mathrm {d} t}$

Uvažujme nasledujúce integrály. Exponent v exponenciálnej funkcii ponecháme a potom vykonáme u-sub

${\displaystyle u=st}$

keď nemáme log vnútri integrálu.

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{\epsilon }e^{-st}\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }\ln ^{n}te^{-st}\mathrm {d} t}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{\epsilon }e^{-st}\mathrm {d} t={\frac {1}{s^{1+\epsilon }}}int _{0}^{\infty }u^{\epsilon }e^{-u}\mathrm {d} u={\frac {1}{s^{1+\epsilon }}}\Gamma (1+\epsilon )}$

Rozšírte druhý výraz na druhý rád. Prepisujeme

${\displaystyle {\frac {1}{s^{1+\epsilon }}}}$

s

${\displaystyle e}$

v základni.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Gamma (1+\epsilon )}{s^{1+\epsilon }}}&\approx {\frac {1}{se^{\epsilon \ln s}}}vľavo(e^{-\gamma \epsilon +{\frac {\zeta (2)}{2}}\epsilon ^{2}}vpravo)\&\approx {\frac {1}{s}}\levo(1-\epsilon \ln s+{\frac {\ln ^{2}s}{2}}\epsilon ^{2}\pravo)\levo(1-\gamma \epsilon +{\frac {\zeta (2)}{2}}\epsilon ^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\epsilon ^{2}\pravo)\\&\approx {\frac {1}{s}}\levo(\cdots +\levo({\frac {\zeta (2)}{2}}+{\frac {\gamma ^{2}}{2}}+\gamma \ln s+{\frac {\ln ^{2}s}{2}}\pravo)\epsilon ^{2}\pravo)\end{aligned}}}$

Vyhodnoťte porovnaním koeficientov. Koeficient druhého rádu má a

${\displaystyle 2!}$

člen v ňom vedľa integrálu, takže koeficient, ktorý sme práve našli, vynásobíme číslom 2, aby sme vyhodnotili. V princípe je možné nájsť Laplaceove transformácie ľubovoľnej celočíselnej mocniny prirodzeného logaritmu. Len by sme museli zachovať viac členov.

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\ln ^{2}t\}={\frac {\zeta (2)+\gamma ^{2}+2\gamma \ln s+\ln ^{2}s}{s}}}$
• Ako je pri tejto technike zvykom, integrály s klesajúcimi mocninami logaritmu vychádzajú prirodzene ako výsledok našej práce.
  • ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln te^{-st}\mathrm {d} t=-{\frac {\gamma +\ln s}{s}}}$
  • ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}\mathrm {d} t={\frac {1}{s}}}}$

Overte nasledujúce Laplaceove transformácie. Prvý z nich využíva rovnakú techniku ako ten, ktorý sme používali. Druhá metóda využíva vlastnosti Laplaceovej transformácie.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\ln ^{3}t\}=-{\frac {2\zeta (3)+3\gamma \zeta (2)+\gamma ^{3}+3\zeta (2)\ln s+3\gamma ^{2}\ln s+3\gamma \ln ^{2}s+\ln ^{3}s}{s}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{te^{-6t}\ln ^{2}t\}={\frac {\zeta (2)+\gamma ^{2}+2\gamma \ln(s+6)+\ln ^{2}(s+6)-2\gamma -2\ln(s+6)}{(s+6)^{2}}}}$