Ako vypočítať maximálny príjem (s obrázkami)

Obchodní štatistici vedia, ako použiť údaje o predaji na určenie matematických funkcií pre predaj a dopyt. Pomocou týchto funkcií a niekoľkých základných výpočtov je možné vypočítať maximálny príjem, ktorý môže spoločnosť očakávať. Ak poznáte funkciu príjmov, môžete nájsť prvú deriváciu tejto funkcie a potom určiť maximálny bod funkcie.

Časť 1 z 3:Použitie výnosovej funkcie


Pochopte vzťah medzi cenou a dopytom. Z ekonomickej štúdie vyplýva, že pre väčšinu tradičných podnikov platí, že so zvyšujúcim sa dopytom po akomkoľvek tovare by mala cena tohto tovaru klesať. Naopak, keď cena klesá, dopyt by mal rásť. Pomocou údajov zo skutočného predaja môže spoločnosť určiť graf ponuky a dopytu. Tieto údaje možno použiť na výpočet cenovej funkcie.

  • Viac informácií o grafickom znázornení údajov o ponuke a dopyte nájdete v časti Nájsť a analyzovať krivku dopytovej funkcie.


Vytvorte cenovú funkciu. Cenová funkcia sa skladá z dvoch základných informácií. Prvým je intercept. Toto je teoretická cena, ak sa nepredajú žiadne položky. Druhým detailom je klesajúci sklon. Sklon grafu predstavuje pokles ceny pre každú položku. Vzorová cenová funkcia môže vyzerať nasledovne:

  • p=500150q{\displaystyle p=500-{\frac {1}{50}}q}
    • p = cena
    • q = dopyt v počte jednotiek
  • Táto funkcia stanovuje „nulovú cenu“ na 500 USD. Za každú predanú jednotku sa cena zníži o 1/50 dolára (dva centy).


Určte funkciu výnosov. Príjmy sú súčinom ceny a počtu predaných jednotiek. Keďže funkcia ceny zahŕňa počet jednotiek, výsledkom bude štvorcová premenná. Použitím cenovej funkcie z vyššie uvedeného sa funkcia príjmov stáva: [1]

  • R(q)=pq{\displaystyle R(q)=p*q}
  • R(q)=[500150q]q{\displaystyle R(q)=[500-{\frac {1}{50}}q]*q}
  • R(q)=500q150q2{\displaystyle R(q)=500q-{\frac {1}{50}}q^{2}}

Časť 2 z 3:Zistenie maximálnej hodnoty výnosov


Nájdite prvú deriváciu funkcie príjmov. V matematike sa derivácia akejkoľvek funkcie používa na zistenie rýchlosti zmeny tejto funkcie. Maximálna hodnota danej funkcie nastane, keď sa derivácia rovná nule. Ak chcete maximalizovať príjem, nájdite prvú deriváciu funkcie príjmu.[2]

  • Predpokladajme, že funkcia príjmov z hľadiska počtu predaných jednotiek je
    R(q)=500q150q2{\displaystyle R(q)=500q-{\frac {1}{50}}q^{2}}

    . Prvá derivácia je teda:

    • R(q)=500250q{\displaystyle R^{\prime }(q)=500-{\frac {2}{50}}q}
  • Prehľad derivácií nájdete v článku wikiHow o tom, ako brať derivácie.


Nastavte deriváciu rovnú 0. Keď je derivácia nulová, graf pôvodnej funkcie sa nachádza buď na vrchole, alebo na dne. Toto bude buď maximálna, alebo minimálna hodnota. Pre niektoré funkcie vyššej úrovne môže existovať viac ako jedno riešenie nulovej derivácie, ale nie základná funkcia ceny a dopytu.[3]

  • R(q)=500250q{\displaystyle R^{\prime }(q)=500-{\frac {2}{50}}q}
  • 0=500250q{\displaystyle 0=500-{\frac {2}{50}}q}


Riešenie počtu položiek pri hodnote 0. Pomocou základnej algebry vyriešte deriváciu pre počet predávaných položiek, kde sa derivácia rovná nule. Takto získate počet položiek, ktorý maximalizuje výnosy.[4]

  • 0=500250q{\displaystyle 0=500-{\frac {2}{50}}q}
  • 250q=500{\displaystyle {\frac {2}{50}}q=500}
  • 150q=250{\displaystyle {\frac {1}{50}}q=250}
  • q=50250{\displaystyle q=50*250}
  • q=12,500{\displaystyle q=12,500}


Vypočítajte maximálnu cenu. Ak použijete optimálny počet predajov z výpočtu derivácie, môžete túto hodnotu zadať do pôvodného vzorca na určenie optimálnej ceny.[5]

  • p=500150q{\displaystyle p=500-{\frac {1}{50}}q}
  • p=50015012,500{\displaystyle p=500-{\frac {1}{50}}12,500}
  • p=500250{\displaystyle p=500-250}
  • p=250{\displaystyle p=250}


Kombináciou výsledkov vypočítajte maximálny príjem. Po zistení optimálneho počtu predajov a optimálnej ceny ich vynásobte a zistite maximálny príjem. Pripomeňte si, že

R=pq{\displaystyle R=p*q}

. Maximálny príjem pre tento príklad je teda: [6]

  • R=pq{\displaystyle R=p*q}
  • R=(250)(12,500){\displaystyle R=(250)(12,500)}
  • R=3,125,000{\displaystyle R=3,125,000}


Zhrňte výsledky. Na základe týchto výpočtov je optimálny počet predávaných jednotiek 12 500 pri optimálnej cene 250 USD za kus. Výsledkom bude maximálny príjem pre tento vzorový problém vo výške 3 125 000 USD.

Časť 3 z 3:Riešenie ďalšieho vzorového problému


Začnite s cenovou funkciou. Predpokladajme, že iný podnik zhromaždil údaje o cenách a predaji. Na základe týchto údajov spoločnosť určila, že počiatočná cena je 100 USD a každá ďalšia predaná jednotka zníži cenu o jeden cent. Na základe týchto údajov je nasledovná cenová funkcia:

  • p=1000.01q{\displaystyle p=100-0.01q}


Určte funkciu príjmov. Pripomeňme si, že výnosy sa rovnajú cene krát množstvo. Použitím vyššie uvedenej cenovej funkcie je funkcia príjmov:

  • R(q)=[1000.01q]q{\displaystyle R(q)=[100-0.01q]*q}
  • R(q)=100q0.01q2{\displaystyle R(q)=100q-0.01q^{2}}


Nájdite deriváciu funkcie príjmov. Pomocou základných výpočtov nájdite deriváciu funkcie príjmov:

  • R(q)=100q0.01q2{\displaystyle R(q)=100q-0.01q^{2}}
  • R(q)=100(2)0.01q{\displaystyle R^{\prime }(q)=100-(2)0.01q}
  • R(q)=1000.02q{\displaystyle R^{\prime }(q)=100-0.02q}


Nájdite maximálnu hodnotu. Deriváciu nastavíme na nulu a riešime pre

q{\displaystyle q}

nájsť optimálny počet predajov. Tento výpočet je nasledovný:

  • R(q)=1000.02q{\displaystyle R^{\prime }(q)=100-0.02q}
  • 0=1000.02q{\displaystyle 0=100-0.02q}
  • 0.02q=100{\displaystyle 0.02q=100}
  • q=100/0.02{\displaystyle q=100/0.02}
  • q=5,000{\displaystyle q=5,000}


Vypočítajte optimálnu cenu. Na nájdenie optimálnej predajnej ceny použite optimálnu hodnotu predaja vo vzorci pre pôvodnú cenu. Pre tento príklad to funguje takto:

  • p=1000.01q{\displaystyle p=100-0.01q}
  • p=1000.01(5,000){\displaystyle p=100-0.01(5,000)}
  • p=10050{\displaystyle p=100-50}
  • p=50{\displaystyle p=50}


Kombináciou maximálneho predaja a optimálnej ceny zistíme maximálny príjem. Pomocou vzťahu, že príjem sa rovná cena krát množstvo, môžete nájsť maximálny príjem takto:

  • R(q)=pq{\displaystyle R(q)=p*q}
  • R(q)=505,000{\displaystyle R(q)=50*5,000}
  • R(q)=250,000{\displaystyle R(q)=250,000}

  • Interpretácia výsledkov. Na základe týchto údajov a cenovej funkcie

    p=1000.01q{\displaystyle p=100-0.01q}

    , maximálny príjem spoločnosti je 250 000 USD. To predpokladá jednotkovú cenu 50 USD a predaj 5 000 jednotiek.

  • Odkazy: