Ako vypočítať obrysové integrály: 13 krokov

Konturová integrácia je integrácia pozdĺž cesty v komplexnej rovine. Proces integrácie po obryse je veľmi podobný výpočtu priamkových integrálov vo viacrozmernom počte. Rovnako ako pri reálnych integráloch, aj pri obrysových integráloch existuje zodpovedajúca základná veta za predpokladu, že je známa antiderivátna hodnota integrálu.

V tomto článku sa budeme venovať jednej z najdôležitejších metód kontúrovej integrácie, priamej parametrizácii, ako aj základnej vete o kontúrových integráloch. Aby sme sa vyhli patologickým príkladom, budeme uvažovať len o kontúrach, ktoré sú rektifikovateľnými krivkami, ktoré sú definované v oblasti

${\displaystyle D,}$

spojitý, hladký, jedna k jednej a ktorého derivácia je nenulová všade na intervale. Prečítajte si návod na výpočet obrysových integrálov.

Kroky

Časť 1 z 3:Priama parametrizácia

Aplikujte definíciu Riemannovho súčtu pre kontúrové integrály.

• Definícia. Vzhľadom na komplexnú funkciu
  ${\displaystyle f(z)}$

  a obrys

  ${\displaystyle \gamma ,}$

  integrál

  ${\displaystyle f(z)}$

  cez

  ${\displaystyle \gamma }$

  je Riemannov súčet

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}f(z_{i})\Delta z_{i}.}$

  Ak táto hranica existuje, potom hovoríme

  ${\displaystyle f(z)}$

  je integrovateľný na

  ${\displaystyle \gamma .}$

  Toto vyjadrujeme zápisom

  ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z.}$
• Intuitívne ide o veľmi jednoduché zovšeobecnenie Riemannovho súčtu. Jednoducho sčítame obdĺžniky, aby sme našli plochu krivky, a šírku obdĺžnikov pošleme na 0 tak, aby sa stali nekonečne tenkými.

Prepíšeme obrysový integrál v zmysle parametra

$$t{\displaystyle t}

.

• Ak parametrizujeme obrys
  ${\displaystyle \gamma }$

  ako

  ${\displaystyle z(t),}$

  potom podľa reťazového pravidla môžeme ekvivalentne zapísať nižšie uvedený integrál.

  • ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\int _{\Delta t}f(z(t)){\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t}$
• Toto je integrál, ktorý použijeme na výpočet. Dôležitou poznámkou je, že tento integrál možno zapísať v tvare jeho reálnej a imaginárnej časti takto.
  • ${\displaystyle \int _{\Delta t}f(z(t)){\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t=\int _{\Delta t}(u(t)+iv(t))\mathrm {d} t}$

Parametrizujte

$$γ{\displaystyle \gamma }

a vypočítajte

$$dzdt{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}

.

• Najjednoduchšie kontúry, ktoré sa používajú v komplexnej analýze, sú kontúry priamky a kružnice. Pre zjednodušenie je často žiaduce parametrizovať priamku tak, že
  ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$

  Daný počiatočný bod

  ${\displaystyle z_{1}}$

  a koncový bod

  ${\displaystyle z_{2},}$

  takýto obrys možno vo všeobecnosti parametrizovať nasledujúcim spôsobom.

  • ${\displaystyle z(t)=(1-t)z_{1}+z_{2},\ 0\leq t\leq 1}$
• Kružnicový obrys možno parametrizovať aj jednoduchým spôsobom, pokiaľ sledujeme orientáciu obrysu. Nech
  ${\displaystyle z_{0}}$

  je stred kružnice a

  ${\displaystyle r}$

  je polomer kružnice. Potom parametrizácia kružnice, počnúc

  ${\displaystyle t=0,}$

  a prechádzanie obrysu v proti smeru hodinových ručičiek smeru, je takýto.

  • ${\displaystyle z(t)=z_{0}+re^{it},\ \ 0\leq t\leq 2\pi }$
• Výpočet
  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}$

  z oboch týchto obrysov je triviálny.

• Tu je potrebné zvážiť dve dôležité skutočnosti. Po prvé, obrysový integrál
  ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z}$

  je nezávislý parametrizácie, pokiaľ je smer

  ${\displaystyle \gamma }$

  zostáva rovnaký. To znamená, že existuje nekonečný počet spôsobov, ako danú krivku parametrizovať, pretože rýchlosť sa môže meniť ľubovoľným spôsobom. Po druhé, obrátený smer obrysu neguje integrál.

  • ${\displaystyle \int _{-\gamma }f(z)\mathrm {d} z=-\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z}$

Vyhodnoťte. Vieme, že

${\displaystyle t}$

je reálna hodnota, takže zostáva len integrovať pomocou štandardných integračných techník kalkulu s reálnou premennou.

• Vyššie uvedený obrázok znázorňuje typický obrys v komplexnej rovine. Vychádzajúc z bodu
  ${\displaystyle a,}$

  obrys prechádza polkruhom s polomerom proti smeru hodinových ručičiek

  ${\displaystyle a}$

  a uzavrie slučku riadkom, ktorý vedie z

  ${\displaystyle -a}$

  na

  ${\displaystyle a.}$

  Ak je bod

  ${\displaystyle z=i}$

  ako je znázornené, sa považuje za pól funkcie, potom obrysový integrál opisuje obrys prechádzajúci okolo pólu. Tento typ integrácie je v komplexnej analýze veľmi častý.

Časť 2 z 3:Príklad

Vyhodnoťte nasledujúci obrysový integrál.

${\displaystyle \gamma }$

je krivka spájajúca počiatok s

${\displaystyle 1+i}$

pozdĺž priamky.

• ${\displaystyle \int _{\gamma }(xy^{2}+2xyi)\mathrm {d} z}$

Parametrizujte obrys. Naša krivka je mimoriadne jednoduchá:

${\displaystyle x=t}$

a

${\displaystyle y=t.}$

Náš obrys teda zapíšeme takto.

• ${\displaystyle z(t)=t+it,\ \ 0\leq t\leq 1}$

Vypočítajte

$$dzdt{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}

. Dosadíme naše výsledky do integrálu.

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=1+i}$
• ${\displaystyle \int _{\gamma }(xy^{2}+2xyi)\mathrm {d} z=\int _{0}^{1}(t^{3}+i2t^{2})(1+i)\mathrm {d} t}$

Vyhodnoťte.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}(t^{3}+i2t^{2})(1+i)\mathrm {d} t&=\int _{0}^{1}(t^{3}+i2t^{2}+it^{3}-2t^{2})\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{4}}+i\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)-{\frac {2}{3}}\\&=-{\frac {5}{12}}+{\frac {11}{12}}i\end{aligned}}}$

Vyhodnoťte ten istý integrál, ale kde

$$γ{\displaystyle \gamma }

je krivka spájajúca počiatok s

$$1+i{\displaystyle 1+i}

pozdĺž

$$y=x3{\displaystyle y=x^{3}}

. Naša parametrizácia sa mení na

${\displaystyle x=t}$

a

${\displaystyle y=t^{3}.}$

• ${\displaystyle z(t)=t+it^{3}}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=(1+i3t^{2})\mathrm {d} t}$
• ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }(xy^{2}+2xyi)\mathrm {d} z&=\int _{0}^{1}(t^{7}+i2t^{4})(1+i3t^{2})\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{1}(t^{7}+i2t^{4}+i3t^{9}-6t^{6})\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{8}}+i\levo({\frac {2}{5}}+{\frac {3}{10}}}pravo)-{\frac {6}{7}}\\&=-{\frac {41}{56}}+{\frac {7}{10}}i\end{aligned}}}$
• Ukázali sme tu, že pre neanalytické funkcie, ako napr
  ${\displaystyle f(z)=xy^{2}+2xyi,}$

  obrysový integrál závisí od zvolenej cesty. To, že táto funkcia nie je analytická, môžeme ukázať tak, že overíme, či reálna a imaginárna časť spĺňa Cauchyho-Riemannove rovnice. Ako

  ${\displaystyle {\frac {\časť u}{\časť x}}=y^{2}}$

  a

  ${\displaystyle {\frac {\časť v}{\časť y}}=2x,}$

  to stačí na preukázanie neanalytičnosti.

Časť 3 z 3:Základná veta o kontúrových integráloch

Zovšeobecnite základnú vetu kalkulu. Keďže sa veta týka kontúrových integrálov, používa sa na jednoduchý výpočet hodnoty kontúrových integrálov, pokiaľ vieme nájsť antiderivát. Dôkaz tejto vety je podobný všetkým ostatným dôkazom základných viet z kalkulu, ale pre stručnosť ho tu nebudeme uvádzať.

• Predpokladajme, že funkcia
  ${\displaystyle f(z)}$

  má antiderivát

  ${\displaystyle F(z)}$

  tak, že

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}F(z)=f(z)}$

  cez oblasť

  ${\displaystyle D,}$

  a nechajte

  ${\displaystyle \gamma }$

  je obrys v

  ${\displaystyle D,}$

  kde

  ${\displaystyle z_{0}}$

  a

  ${\displaystyle z_{1}}$

  sú počiatočný a koncový bod

  ${\displaystyle \gamma ,}$

  resp. Potom

  ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z}$

  je nezávislá od cesty pre všetky spojité cesty

  ${\displaystyle \gamma }$

  konečnej dĺžky a jeho hodnota je daná

  ${\displaystyle F(z_{1})-F(z_{0}).}$

Vyhodnoťte nasledujúci integrál priamou parametrizáciou.

${\displaystyle \gamma }$

je polpriamka idúca proti smeru hodinových ručičiek od

${\displaystyle z=-i}$

na

${\displaystyle z=i.}$

• ${\displaystyle \int _{\gamma }{\sqrt {z}}\mathrm {d} z}$

Parametrizujte

$$γ,{\displaystyle \gamma ,}

nájdite

$$dzdt,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}},}

a vyhodnotiť.

• ${\displaystyle z(t)=e^{it},-{\frac {\pi }{2}}\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=ie^{it}}$
• ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }{\sqrt {z}}\mathrm {d} z&=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}e^{{\frac {1}{2}}\operátorname {Log} e^{it}}ie^{it}\mathrm {d} t\\&=i\int _{-\pi /2}^{\pi /2}e^{{\frac {3}{2}it}\mathrm {d} t\\&={\frac {2}{3}}e^{{\frac {3}{2}it}{\Bigg |}_{-\pi /2}^{\pi /2}\\&={\frac {2}{3}}levá(e^{{\frac {3\pi }{4}i}-e^{-{\frac {3\pi }{4}i}pravá)\\&={\frac {2}{3}}2i\sin {\frac {3\pi }{4}}\&={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}i\end{aligned}}}$

Vyhodnoťte ten istý integrál pomocou základnej vety o obrysových integráloch. V tejto metóde sa však

${\displaystyle {\sqrt {z}}}$

v integrále predstavuje problém. Keďže vieme, že

${\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{{\frac {1}{2}}\operátorname {Log} z},}$

prítomnosť logaritmickej funkcie naznačuje rez vetvou, cez ktorú nemôžeme integrovať. Našťastie môžeme zvoliť taký rez vetvy, aby bol náš obrys dobre definovaný v našej oblasti. Hlavná vetva logaritmu, kde rez vetvy tvoria nepozitívne reálne čísla, v tomto prípade funguje, pretože naša kontúra prechádza okolo tohto rezu vetvy. Pokiaľ si uvedomíme, že hlavný logaritmus má argument definovaný nad

${\displaystyle (-\pi ,\pi ],}$

Zvyšné kroky sú jednoduché výpočty.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }{\sqrt {z}}\mathrm {d} z&={\frac {2}{3}}z^{3/2}{\Bigg |}_{-i}^{i}\\&={\frac {2}{3}}\levo(i^{\frac {3}{2}}-(-i)^{\frac {3}{2}}}pravo)\\&={\frac {2}{3}}\levice(e^{{\frac {3}{2}}\operátor {Log} i}-e^{{\frac {3}{2}}\operátor {Log} (-i)}\pravica)\end{aligned}}}$
• Pre hlavnú vetvu logaritmu vidíme, že
  ${\displaystyle \operatorname {Log} i=i{\frac {\pi }{2}}}$

  a

  ${\displaystyle \operátorname {Log} (-i)=-i{\frac {\pi }{2}}.}$
• ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }{\sqrt {z}}\mathrm {d} z&={\frac {2}{3}}\levice(e^{{\frac {3}{2}}i{\frac {\pi }{2}}}-e^{-{\frac {3}{2}}i{\frac {\pi }{2}}}}pravica)\\&={\frac {2}{3}}levo(e^{{\frac {3\pi }{4}i}-e^{-{\frac {3\pi }{4}i}vpravo)\\&={\frac {2}{3}}2i\sin {\frac {3\pi }{4}}\&={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}i\end{aligned}}}$