Ako vypočítať okamžitú rýchlosť: 11 krokov (s obrázkami)

Rýchlosť je definovaná ako rýchlosť objektu v danom smere.[1]
V mnohých bežných situáciách na zistenie rýchlosti používame rovnicu v = s/t, kde v sa rovná rýchlosti, s sa rovná celkovému posunu od východiskovej polohy objektu a t sa rovná uplynutému času. Technicky to však udáva len posun objektu priemer rýchlosť na jeho dráhe. Pomocou výpočtu je možné vypočítať rýchlosť objektu v ľubovoľnom okamihu na jeho dráhe. Toto sa nazýva okamžitá rýchlosť a je definovaná rovnicou v = (ds)/(dt), alebo inými slovami, deriváciu rovnice priemernej rýchlosti objektu.[2]

Časť 1 z 3:Výpočet okamžitej rýchlosti


Začnite rovnicou pre rýchlosť v zmysle posunutia. Aby sme získali okamžitú rýchlosť objektu, musíme mať najprv rovnicu, ktorá nám povie jeho polohu (v zmysle posunutia) v určitom časovom okamihu. To znamená, že rovnica musí mať premennú s na jednej strane sám a t na druhej strane (ale nie nevyhnutne sama o sebe), takto:

s = -1.5t2 + 10t + 4

  • V tejto rovnici sú premenné:
    Posunutie = s . Vzdialenosť, ktorú objekt prešiel zo svojej východiskovej polohy.[3]
    Ak napríklad predmet prejde 10 metrov dopredu a 7 metrov dozadu, jeho celkový posun je 10 – 7 = 3 metre (nie 10 + 7 = 17 metrov).
    Čas = t . Samovysvetľujúce. Zvyčajne sa meria v sekundách.


Vezmite deriváciu rovnice. Derivácia rovnice je len iná rovnica, ktorá hovorí o jej sklone v danom časovom bode. Ak chcete nájsť deriváciu vášho vzorca pre posunutie, diferencujte funkciu pomocou tohto všeobecného pravidla na hľadanie derivácií: Ak y = a*xn, derivácia = a*n*xn-1.Toto pravidlo sa uplatňuje na každý člen na strane „t“ rovnice.

  • Inými slovami, začnite prechádzať stranou „t“ rovnice zľava doprava. Zakaždým, keď dosiahnete „t“, od exponentu odpočítajte 1 a celý člen vynásobte pôvodným exponentom. Všetky konštantné členy (členy, ktoré neobsahujú „t“) zmiznú, pretože sa vynásobia 0. Tento postup v skutočnosti nie je taký ťažký, ako sa zdá – odvodíme rovnicu v predchádzajúcom kroku ako príklad:

    s = -1.5t2 + 10t + 4
    (2)-1.5t(2-1) + (1)10t1 – 1 + (0)4t0
    -3t1 + 10t0
    -3t + 10


Nahraďte „s“ za „ds/dt.“ Aby sme ukázali, že naša nová rovnica je deriváciou prvej rovnice, nahradíme „s“ zápisom „ds/dt“. Technicky tento zápis znamená „deriváciu s vzhľadom na t.“ Jednoduchší spôsob, ako o tom premýšľať, je len to, že ds/dt je len sklon ľubovoľného bodu v prvej rovnici. Napríklad na zistenie sklonu priamky vytvorenej koeficientom s = -1.5t2 + 10t + 4 pri t = 5, do derivácie t by sme jednoducho dosadili „5“.

  • V našom bežiacom príklade by teraz naša hotová rovnica mala vyzerať takto:

    ds/dt = -3t + 10


Dosadením hodnoty t do novej rovnice zistíte okamžitú rýchlosť.[4]
Teraz, keď máte svoju derivačnú rovnicu, je nájdenie okamžitej rýchlosti v ľubovoľnom časovom bode jednoduché. Jediné, čo musíte urobiť, je vybrať hodnotu t a dosadiť ju do rovnice derivácie. Napríklad, ak chceme zistiť okamžitú rýchlosť pri t = 5, stačí nahradiť „5“ za t v derivácii ds/dt = -3 + 10. Potom by sme rovnicu vyriešili takto:

ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 metrov za sekundu

  • Všimnite si, že vyššie používame označenie „metre za sekundu“. Keďže sa zaoberáme posunom v metroch a časom v sekundách a rýchlosť vo všeobecnosti je len posun v čase, toto označenie je vhodné.

Časť 2 z 3:Grafický odhad okamžitej rýchlosti


Vykreslite graf posunu vášho objektu v čase. V predchádzajúcej časti sme spomenuli, že derivácie sú len vzorce, ktoré nám umožňujú nájsť sklon v ľubovoľnom bode pre rovnicu, pre ktorú berieme deriváciu.[5]
V skutočnosti, ak znázorníte posun objektu pomocou čiary na grafe, Sklon priamky v ľubovoľnom bode sa rovná okamžitej rýchlosti objektu v tomto bode.

  • Ak chcete vykresliť posun objektu, použite os x na znázornenie času a os y na znázornenie posunu. Potom už len nakreslite body tak, že do rovnice posunu dosadíte hodnoty t, získate hodnoty s pre svoje odpovede a na grafe označíte body t,s (x,y).
  • Všimnite si, že graf môže siahať pod os x. Ak priamka znázorňujúca pohyb vášho objektu klesne pod os x, predstavuje to, že váš objekt sa pohybuje za miestom, kde začal. Všeobecne platí, že váš graf nebude siahať za os y – často nemeriame rýchlosť pre objekty pohybujúce sa v čase dozadu!


Vyberte si jeden bod P a bod Q, ktorý je blízko neho na priamke. Ak chceme nájsť sklon priamky v jednom bode P, použijeme trik, ktorý sa nazýva „brať limitu.“ Užitie limitu spočíva v tom, že vezmeme dva body (P plus Q, bod v jeho blízkosti) na zakrivenej priamke a zistíme sklon priamky, ktorá ich spája, a to stále dokola, keď sa vzdialenosť medzi P a Q zmenšuje.

  • Povedzme, že naša priamka posunutia obsahuje body (1,3) a (4,7). V tomto prípade, ak chceme nájsť sklon v bode (1,3), môžeme nastaviť (1,3) = P a (4,7) = Q.


Nájdite sklon medzi P a Q. Sklon medzi P a Q je rozdiel hodnôt y pre P a Q nad rozdielom hodnôt x pre P a Q. Inými slovami, H = (yQ – yP)/(xQ – xP), kde H je sklon medzi dvoma bodmi. V našom príklade je sklon medzi P a Q:

H = (yQ – yP)/(xQ – xP)
H = (7 – 3)/(4 – 1)
H = (4)/(3) = 1.33


Niekoľkokrát to zopakujeme, pričom Q posunieme bližšie k P. Vaším cieľom je, aby sa vzdialenosť medzi P a Q stále zmenšovala, až sa priblíži k jedinému bodu. Čím menšia bude vzdialenosť medzi P a Q, tým bližšie bude sklon vašich malých úsečiek k sklonu v bode P. Urobme to niekoľkokrát pre našu príkladovú rovnicu s použitím bodov (2,4.8), (1.5,3.95) a (1.25,3.49) pre Q a náš pôvodný bod (1,3) pre P:

Q = (2,4.8): H = (4.8 – 3)/(2 – 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8

Q = (1.5,3.95): H = (3.95 – 3)/(1.5 – 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9

Q = (1.25,3.49): H = (3.49 – 3)/(1.25 – 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96


Odhadnite sklon pre nekonečne malý interval na priamke. Keď sa Q bude stále viac približovať k bodu P, H sa bude stále viac približovať k sklonu v bode P. Nakoniec sa v nekonečne malom intervale bude H rovnať sklonu pri P. Keďže nie sme schopní zmerať alebo vypočítať nekonečne malý interval, jednoducho odhadneme sklon v bode P, keď je to jasné z bodov, ktoré sme vyskúšali.

  • V našom príklade, keď sme posunuli Q bližšie k P, dostali sme hodnoty 1.8, 1.9 a 1.96 pre H. Keďže sa zdá, že tieto čísla sa blížia k 2, môžeme povedať, že 2 je dobrým odhadom sklonu v bode P.
  • Nezabudnite, že sklon v danom bode priamky sa rovná derivácii rovnice priamky v tomto bode. Keďže naša priamka zobrazuje posunutie nášho objektu v čase a ako sme videli v predchádzajúcej časti, okamžitá rýchlosť objektu je deriváciou jeho posunutia v danom bode, môžeme tiež povedať, že 2 metre za sekundu je dobrým odhadom okamžitej rýchlosti pri t = 1.

Časť 3 z 3:Ukážkové úlohy


Nájdite okamžitú rýchlosť pri t = 4 vzhľadom na rovnicu premiestnenia s = 5t3 – 3t2 + 2t + 9. Je to rovnaké ako náš príklad v prvej časti, až na to, že máme do činenia s kubickou rovnicou a nie s kvadratickou rovnicou, takže ju môžeme vyriešiť rovnakým spôsobom.

  • Najprv vezmeme deriváciu našej rovnice:

    s = 5t3 – 3t2 + 2t + 9
    s = (3)5t(3 – 1) – (2)3t(2 – 1) + (1)2t(1 – 1) + (0)9t0 – 1
    15t(2) – 6t(1) + 2t(0)
    15t(2) – 6t + 2

  • Potom dosadíme našu hodnotu t (4):

    s = 15t(2) – 6t + 2
    15(4)(2) – 6(4) + 2
    15(16) – 6(4) + 2
    240 – 24 + 2 = 218 metrov za sekundu


  • Pomocou grafického odhadu nájdite okamžitú rýchlosť v bode (1,3) pre rovnicu posunu s = 4t2 – t. V tejto úlohe použijeme bod (1,3) ako náš bod P, ale budeme musieť nájsť niekoľko ďalších bodov v jeho blízkosti, ktoré použijeme ako body Q. Potom už len stačí nájsť naše hodnoty H a urobiť odhad.

    • Najskôr nájdime body Q pri t = 2, 1.5, 1.1 a 1.01.

      s = 4t2 – t

      t = 2: s = 4(2)2 – (2)
      4(4) – 2 = 16 – 2 = 14, takže Q = (2,14)

      t = 1.5: s = 4(1.5)2 – (1.5)
      4(2.25) – 1.5 = 9 – 1.5 = 7.5, takže Q = (1.5,7.5)

      t = 1.1: s = 4(1.1)2 – (1.1)
      4(1.21) – 1.1 = 4.84 – 1.1 = 3.74, takže Q = (1.1,3.74)

      t = 1.01: s = 4(1.01)2 – (1.01)
      4(1.0201) – 1.01 = 4.0804 – 1.01 = 3.0704, takže Q = (1.01,3.0704)

    • Ďalej získame hodnoty H:

      Q = (2,14): H = (14 – 3)/(2 – 1)
      H = (11)/(1) = 11

      Q = (1.5,7.5): H = (7.5 – 3)/(1.5 – 1)
      H = (4.5)/(.5) = 9

      Q = (1.1,3.74): H = (3.74 – 3)/(1.1 – 1)
      H = (.74)/(.1) = 7.3

      Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 – 3)/(1.01 – 1)
      H = (.0704)/(.01) = 7.04

    • Keďže sa zdá, že naše hodnoty H sa veľmi blížia k hodnote 7, môžeme povedať, že 7 metrov za sekundu je dobrý odhad okamžitej rýchlosti v bode (1,3).
  • Odkazy