Ako vypočítať permutácie: 8 krokov (s obrázkami)

Ak pracujete s kombinatorikou a pravdepodobnosťou, možno budete potrebovať zistiť počet možných permutácií pre usporiadanú množinu položiek. Permutácia je usporiadanie objektov, v ktorom je dôležité poradie[1]
(na rozdiel od kombinácií, ktoré sú skupinami položiek, pri ktorých na poradí nezáleží[2]
). Na zistenie počtu rôznych možných spôsobov usporiadania položiek môžete použiť jednoduchý matematický vzorec. Na začiatok stačí vedieť, či je vo vašom probléme povolené opakovanie, alebo nie, a potom podľa toho vybrať metódu a vzorec.

Metóda 1 z 2:Výpočet permutácií bez opakovania


Začnite s príkladom problému, v ktorom budete potrebovať počet permutácií bez opakovania. Tento druh problému sa vzťahuje na situáciu, v ktorej záleží na poradí, ale opakovanie nie je povolené; ak bola jedna z možností raz použitá, nemožno ju použiť znova (takže vaše možnosti sa zakaždým zmenšujú).[3]

  • Napríklad môžete vyberať 3 zástupcov do študentskej samosprávy na 3 rôzne pozície zo súboru 10 študentov. Žiadny študent nemôže byť použitý na viac ako jednej pozícii (žiadne opakovanie), ale na poradí stále záleží, pretože pozície v študentskej samospráve nie sú zameniteľné (permutácia, v ktorej je prvý študent predsedom, sa líši od permutácie, v ktorej je podpredsedom).
  • Tento druh problému sa často označuje ako
    nPr{\displaystyle {}_{n}P_{r}}

    alebo

    P(n,r){\displaystyle P(n,r)}

    , kde

    n{\displaystyle n}

    je počet všetkých možností, z ktorých máte na výber, a

    r{\displaystyle r}

    je to, koľko položiek je potrebné vybrať.


Poznajte vzorec:

nPr=n!(nr)!{\displaystyle {}_{n}P_{r}={\frac {n!}{(n-r)!}}}

. Vo vzorci,

n{\displaystyle n}

je počet všetkých možností, z ktorých si môžete vybrať, a

r{\displaystyle r}

je to, koľko položiek musíte vybrať, kde na poradí záleží a opakovanie nie je povolené.

  • V tomto príklade,
    n{\displaystyle n}

    by bol celkový počet študentov, takže

    n{\displaystyle n}

    by bolo 10 a

    r{\displaystyle r}

    by bol počet vybraných ľudí, takže

    r{\displaystyle r}

    by bolo 3.


Zapojte svoje čísla pre

n{\displaystyle n}

a

r{\displaystyle r}

.

  • V tomto prípade by ste mali
    10P3=10!(103)!{\displaystyle {}_{10}P_{3}={\frac {10!}{(10-3)!}}}

    .


Vyriešte rovnicu na zistenie počtu permutácií.

  • Ak máte po ruke kalkulačku, nájdite nastavenie faktoriálu a použite ho na výpočet počtu permutácií. Ak používate kalkulačku Google, kliknite na x! tlačidlo zakaždým po zadaní potrebných číslic.
  • Ak musíte riešiť ručne, nezabudnite, že pri každom faktoriáli začínate s hlavným daným číslom a potom ho vynásobíte ďalším najmenším číslom a tak ďalej, až kým sa nedostanete k nule.
  • Napríklad by ste vypočítali 10! vykonaním (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), čo vám ako výsledok dá 3 628 800. 7! by bolo (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), čo by sa rovnalo 5 040. Potom by ste vypočítali 3 628 800/5 040.
  • V príklade by ste mali dostať 720. Toto číslo znamená, že ak vyberáte z 10 rôznych študentov na 3 miesta v študentskej samospráve, kde záleží na poradí a neopakuje sa, existuje 720 možností.

Metóda 2 z 2:Výpočet permutácií s opakovaním


Začnite s príkladom problému, kde budete potrebovať množstvo permutácií, kde je povolené opakovanie.

  • Napríklad, ak máte na výber 10 číslic pre kombinačný zámok so 6 číslicami na zadanie a máte povolené opakovanie všetkých číslic, hľadáte počet permutácií s opakovaním.
  • Permutácia s opakovaním n vybraných prvkov je tiež známy ako „n-tuple“.[4]


Poznajte vzorec:

nr{\displaystyle n^{r}}

. V tomto vzorci je n počet položiek, z ktorých si musíte vybrať, a r je počet položiek, ktoré musíte vybrať v situácii, keď je povolené opakovanie a záleží na poradí.[5]
[6]

  • V príklade,
    n{\displaystyle n}

    je

    10{\displaystyle 10}

    , a

    r{\displaystyle r}

    je

    6{\displaystyle 6}

    .


Zapojte

n{\displaystyle n}

a

r{\displaystyle r}

.

  • V príklade dostanete rovnicu
    106{\displaystyle 10^{6}}

    .


  • Riešte počet permutácií. Ak máte po ruke kalkulačku, táto časť je jednoduchá: stačí stlačiť 10 a potom kláves s exponentom (často označený xy alebo ^) a potom stlačiť 6.

    • V tomto príklade by vaša odpoveď bola
      106=1,000,000{\displaystyle 10^{6}=1,000,000}

      . To znamená, že ak máte zámok, ktorý vyžaduje, aby osoba zadala 6 rôznych číslic z výberu 10 číslic, pričom opakovanie je v poriadku, ale záleží na poradí, existuje 1 000 000 možných permutácií.

  • Odkazy