Ako vypočítať plochu šesťuholníka

Šesťuholník je mnohouholník, ktorý má šesť strán a uhlov. Pravidelné šesťuholníky majú šesť rovnakých strán a uhlov a sú zložené zo šiestich rovnostranných trojuholníkov. Existuje viacero spôsobov, ako vypočítať plochu šesťuholníka, či už pracujete s nepravidelným alebo pravidelným šesťuholníkom. Ak chcete vedieť, ako vypočítať plochu šesťuholníka, postupujte podľa týchto krokov.

Metóda 1 zo 4:Výpočet z pravidelného šesťuholníka s danou dĺžkou strany


Napíšte vzorec na zistenie plochy šesťuholníka, ak poznáte dĺžku strany. Keďže pravidelný šesťuholník sa skladá zo šiestich rovnostranných trojuholníkov, vzorec na zistenie plochy šesťuholníka je odvodený zo vzorca na zistenie plochy rovnostranného trojuholníka. Vzorec na zistenie plochy šesťuholníka je Plocha = (3√3 s2)/ 2 kde s je dĺžka strany pravidelného šesťuholníka.[1]


Určte dĺžku jednej strany. Ak už poznáte dĺžku strany, môžete ju jednoducho zapísať; v tomto prípade je dĺžka strany 9 cm. Ak nepoznáte dĺžku strany, ale poznáte dĺžku obvodu alebo apotémiu (výšku jedného z rovnostranných trojuholníkov tvorených šesťuholníkom, ktorá je kolmá na stranu), môžete ešte nájsť dĺžku strany šesťuholníka. Takto to urobíte:

  • Ak poznáte obvod, stačí ho vydeliť 6 a získate dĺžku jednej strany. Ak je napríklad dĺžka obvodu 54 cm, potom ju vydelíme 6 a dostaneme 9 cm, čo je dĺžka strany.[2]
  • Ak poznáte len apotémiu, môžete zistiť dĺžku strany dosadením apotémie do vzorca a = x√3 a potom odpoveď vynásobíme dvoma. Je to preto, že apotéma predstavuje stranu x√3 trojuholníka 30-60-90, ktorý vytvára. Ak je apotéma napríklad 10√3, potom x je 10 a dĺžka strany je 10 * 2, teda 20.


Do vzorca dosaďte hodnotu dĺžky strany. Keďže viete, že dĺžka jednej strany trojuholníka je 9, stačí dosadiť 9 do pôvodného vzorca. Bude to vyzerať takto: Plocha = (3√3 x 92)/2


Zjednodušte svoju odpoveď. Nájdite hodnotu rovnice a napíšte číselnú odpoveď. Keďže pracujete s plochou, mali by ste svoju odpoveď uviesť v štvorcových jednotkách. Tu je uvedený postup:

  • (3√3 x 92)/2 =
  • (3√3 x 81)/2 =
  • (243√3)/2 =
  • 420.8/2 =
  • 210.4 cm2

Metóda 2 zo 4:Výpočet z pravidelného šesťuholníka s daným apotémom


Napíšte vzorec na zistenie plochy šesťuholníka s daným apotémou. Vzorec je jednoducho Plocha = 1/2 x obvod x apotéma.[3]


Zapíšte apotémiu. Povedzme, že apotéma je 5√3 cm.


Na zistenie obvodu použite apotémiu. Keďže apotéma je kolmá na stranu šesťuholníka, vytvára jednu stranu trojuholníka 30-60-90. Strany trojuholníka 30-60-90 sú v pomere x-x√3-2x, kde dĺžka krátkej odvesny, ktorá je naprieč uhlom 30 stupňov, je reprezentovaná x, dĺžka dlhej odvesny, ktorá je naprieč uhlom 60 stupňov, je reprezentovaná x√3 a prepona je reprezentovaná 2x.[4]

  • Apotémou je strana, ktorú predstavuje x√3. Preto dosaďte dĺžku apotézy do vzorca a = x√3 a vyriešte. Ak je dĺžka apotémy napríklad 5√3, dosadíme ju do vzorca a dostaneme 5√3 cm = x√3, alebo x = 5 cm.
  • Riešením pre x ste zistili dĺžku krátkeho ramena trojuholníka, 5. Keďže predstavuje polovicu dĺžky jednej strany šesťuholníka, vynásobte ju dvomi, aby ste dostali celú dĺžku strany. 5 cm x 2 = 10 cm.
  • Teraz, keď viete, že dĺžka jednej strany je 10, stačí ju vynásobiť 6, aby ste našli obvod šesťuholníka. 10 cm x 6 = 60 cm


Doplňte všetky známe veličiny do vzorca. Najťažšie bolo nájsť obvod. Teraz už stačí len dosadiť apotémiu a obvod do vzorca a vyriešiť:

  • Plocha = 1/2 x obvod x apotéma
  • Plocha = 1/2 x 60 cm x 5√3 cm


Zjednodušte svoju odpoveď. Výraz zjednodušujte, kým z rovnice neodstránite radikály. Uveďte svoju konečnú odpoveď v štvorcových jednotkách.

  • 1/2 x 60 cm x 5√3 cm =
  • 30 x 5√3 cm =
  • 150√3 cm =
  • 259. 8 cm2

Metóda 3 zo 4:
Výpočet z nepravidelného šesťuholníka s danými vrcholmi


Vypíšte súradnice x a y všetkých vrcholov. Ak poznáte vrcholy šesťuholníka, prvá vec, ktorú by ste mali urobiť, je vytvoriť graf s dvoma stĺpcami a siedmimi riadkami. Každý riadok bude označený názvami šiestich bodov (bod A, bod B, bod C atď.) a každý stĺpec bude označený ako x alebo y súradnice týchto bodov. Vypíšte súradnice x a y bodu A napravo od bodu A, súradnice x a y bodu B napravo od bodu B atď. Zopakujte súradnice prvého bodu v dolnej časti zoznamu. Povedzme, že pracujete s nasledujúcimi bodmi vo formáte (x, y):[5]

  • A: (4, 10)
  • B: (9, 7)
  • C: (11, 2)
  • D: (2, 2)
  • E: (1, 5)
  • F: (4, 7)
  • A (opäť): (4, 10)


Vynásobte súradnicu x každého bodu súradnicou y nasledujúceho bodu. Môžete si to predstaviť ako nakreslenie diagonálnej čiary doprava a nadol o jeden riadok od každej súradnice x. Výsledky uveďte v pravej časti tabuľky. Potom výsledky sčítajte.

  • 4 x 7 = 28
  • 9 x 2 = 18
  • 11 x 2 = 22
  • 2 x 5 = 10
  • 1 x 7 = 7
  • 4 x 10 = 40
    • 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125


Vynásobte súradnice y každého bodu súradnicami x nasledujúceho bodu. Predstavte si to ako narysovanie uhlopriečky z každej súradnice y smerom nadol a doľava k súradnici x pod ňou. Po vynásobení všetkých týchto súradníc výsledky sčítajte.

  • 10 x 9 = 90
  • 7 x 11 = 77
  • 2 x 2 = 4
  • 2 x 1 = 2
  • 5 x 4 = 20
  • 7 x 4 = 28
  • 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221


Odpočítajte súčet druhej skupiny súradníc od súčtu prvej skupiny súradníc. Stačí od 125 odčítať 221. 125 – 221 = -96. Teraz zoberte absolútnu hodnotu tejto odpovede: 96. Plocha môže byť len kladná.


Tento rozdiel vydeľte dvoma. Stačí vydeliť 96 číslom 2 a získate plochu nepravidelného šesťuholníka. 96/2 = 48. Nezabudnite napísať odpoveď v štvorcových jednotkách. Konečná odpoveď je 48 štvorcových jednotiek.

Metóda 4 zo 4:Ďalšie metódy na výpočet plochy nepravidelného šesťuholníka


Nájdite plochu pravidelného šesťuholníka s chýbajúcim trojuholníkom. Ak viete, že pracujete s pravidelným šesťuholníkom, ktorému chýba jeden alebo viacero trojuholníkov, potom najprv musíte zistiť plochu celého pravidelného šesťuholníka, ako keby bol celý. Potom jednoducho zistite plochu prázdneho alebo „chýbajúceho“ trojuholníka a tú od celkovej plochy odpočítajte. Takto získate plochu zvyšného nepravidelného šesťuholníka.[6]

  • Ak ste napríklad zistili, že plocha pravidelného šesťuholníka je 60 cm2 a zistili ste, že plocha chýbajúceho trojuholníka je 10 cm2 , jednoducho od celej plochy odpočítajte plochu chýbajúceho trojuholníka: 60 cm2 – 10 cm2 = 50 cm2.
  • Ak viete, že v šesťuholníku chýba presne jeden trojuholník, môžete tiež jednoducho zistiť plochu šesťuholníka vynásobením celkovej plochy 5/6, pretože šesťuholník si zachováva plochu 5 zo svojich 6 trojuholníkov. Ak chýbajú dva trojuholníky, môžete celkovú plochu vynásobiť 4/6 (2/3) a tak ďalej.


Rozložte nepravidelný šesťuholník na ďalšie trojuholníky. Možno zistíte, že nepravidelný šesťuholník sa v skutočnosti skladá zo štyroch trojuholníkov, ktoré majú nepravidelný tvar. Ak chcete zistiť plochu celého nepravidelného šesťuholníka, musíte zistiť plochu každého jednotlivého trojuholníka a potom ich sčítať. Existujú rôzne spôsoby, ako zistiť plochu trojuholníka v závislosti od informácií, ktoré máte.[7]


  • Hľadajte ďalšie tvary v nepravidelnom šesťuholníku. Ak nemôžete jednoducho rozobrať niekoľko trojuholníkov, prezrite si nepravidelný šesťuholník a zistite, či môžete nájsť iné tvary – možno trojuholník, obdĺžnik a/alebo štvorec. Keď ste obkreslili ostatné útvary, stačí nájsť ich plochy a sčítať ich, aby ste získali plochu celého šesťuholníka.[8]

    • Jeden typ nepravidelného šesťuholníka sa skladá z dvoch rovnobežníkov. Ak chcete získať plochy rovnobežníkov, stačí vynásobiť ich základne krát ich výšky, rovnako ako pri hľadaní plochy obdĺžnika, a potom ich plochy sčítať.
  • Odkazy