Ako vypočítať pomery: 9 krokov (s obrázkami): Ako vypočítať vzťahy?

Pomery sú matematické výrazy, ktoré porovnávajú dve alebo viac čísel. Môžu porovnávať absolútne množstvá a množstvá alebo možno použiť na porovnanie častí väčšieho celku. Pomery možno vypočítať a zapísať viacerými rôznymi spôsobmi, ale zásady, ktorými sa používanie pomerov riadi, sú univerzálne pre všetky.

Úlohy na precvičenie


Vypočítajte pomery Praktické úlohy

Výpočet pomerov Praktické úlohy ANSWER KEY

1. časť z 3:Pochopenie pomerov


Uvedomte si, ako sa používajú pomery. Pomery sa používajú v akademickom prostredí aj v reálnom svete na vzájomné porovnávanie viacerých množstiev alebo veličín. Najjednoduchšie pomery porovnávajú len dve hodnoty, ale možné sú aj pomery porovnávajúce tri a viac hodnôt. V každej situácii, v ktorej sa porovnávajú dve alebo viacero rôznych čísel alebo veličín, sa uplatňujú pomery. Opisom množstiev vo vzájomnom pomere vysvetľujú, ako sa dajú zopakovať chemické vzorce alebo rozšíriť recepty v kuchyni. Keď im porozumiete, budete používať pomery do konca života.[1]


Spoznajte, čo znamená pomer. Ako bolo uvedené vyššie, pomery vyjadrujú množstvo aspoň dvoch položiek vo vzájomnom vzťahu. Ak teda napríklad koláč obsahuje dve šálky múky a jednu šálku cukru, povedali by ste, že pomer múky a cukru je 2 : 1.

  • Pomery možno použiť na zobrazenie vzťahu medzi ľubovoľnými veličinami, aj keď jedna nie je priamo viazaná na druhú (ako by to bolo v recepte). Napríklad, ak je v triede päť dievčat a desať chlapcov, pomer dievčat a chlapcov je 5 ku 10. Žiadna z týchto veličín nie je závislá od druhej ani s ňou nie je spojená a zmenila by sa, keby niekto odišiel alebo keby prišli noví študenti. Pomer iba porovnáva veličiny.


Všimnite si rôzne spôsoby vyjadrenia pomerov. Pomery možno zapísať pomocou slov alebo ich možno znázorniť pomocou matematických symbolov.[2]

  • Pomery sa bežne znázorňujú pomocou slov (ako je uvedené vyššie). Keďže sa používajú tak často a takým rôznorodým spôsobom, ak sa ocitnete v práci mimo matematických alebo vedeckých oblastí, môže to byť najčastejšia forma pomeru, s ktorou sa stretnete.
  • Pomery sa často vyjadrujú pomocou dvojbodky. Pri porovnávaní dvoch čísel v pomere sa používa jedna dvojbodka (ako v prípade 7 : 13). Ak porovnávate viac ako dve čísla, medzi jednotlivé súbory čísel za sebou vložíte dvojbodku (ako v prípade 10 : 2 : 23). V našom príklade triedy by sme mohli porovnať počet chlapcov s počtom dievčat v pomere 5 dievčat : 10 chlapcov. Pomer môžeme jednoducho vyjadriť ako 5 : 10.
  • Pomery sa niekedy vyjadrujú aj pomocou zlomkového zápisu. V prípade triedy by sa 5 dievčat a 10 chlapcov zobrazilo jednoducho ako 5/10. To znamená, že by sa to nemalo čítať nahlas rovnako ako zlomok a treba mať na pamäti, že čísla nepredstavujú časť celku.

Časť 2 z 3:Používanie pomerov


Zredukujte pomer na najjednoduchšiu formu. Pomery sa dajú redukovať a zjednodušiť ako zlomky odstránením všetkých spoločných činiteľov členov v pomere. Ak chcete redukovať pomer, vydeľte všetky členy pomeru spoločnými činiteľmi, ktoré majú, až kým neexistuje žiadny spoločný činiteľ. Pri tomto postupe je však dôležité nestratiť zo zreteľa pôvodné veličiny, ktoré k pomeru vôbec viedli.[3]

  • Vo vyššie uvedenom príklade triedy, 5 dievčat k 10 chlapcom (5 : 10), majú obe strany pomeru koeficient 5. Vydelením oboch strán číslom 5 (najväčší spoločný činiteľ) získame pomer 1 dievča a 2 chlapci (alebo 1 : 2). Aj pri použití tohto redukovaného pomeru by sme však mali mať na pamäti pôvodné množstvá. V triede nie sú celkovo 3 žiaci, ale 15. Redukovaný pomer len porovnáva vzťah medzi počtom chlapcov a dievčat. Na každé dievča pripadajú 2 chlapci, nie presne 2 chlapci a 1 dievča.
  • Niektoré pomery sa nedajú zmenšiť. Napríklad číslo 3 : 56 nemožno zmenšiť, pretože tieto dve čísla nemajú spoločné činitele – 3 je prvočíslo a 56 nie je deliteľné číslom 3.


Na „škálovanie“ pomerov použite násobenie alebo delenie. Jeden z bežných typov úloh, v ktorých sa používajú pomery, môže zahŕňať použitie pomerov na zväčšenie alebo zmenšenie dvoch čísel v pomere k sebe. Vynásobením alebo vydelením všetkých členov v pomere rovnakým číslom sa vytvorí pomer s rovnakým pomerom ako pôvodný, takže ak chcete pomer škálovať, vynásobte alebo vydeľte pomer koeficientom škálovania.[4]

  • Napríklad, pekár potrebuje strojnásobiť veľkosť koláča podľa receptu. Ak je bežný pomer múky a cukru 2 : 1 (2 : 1), potom treba obe čísla zväčšiť o trojnásobok. Vhodné množstvá pre recept sú teraz 6 šálok múky na 3 šálky cukru (6 : 3).
  • Rovnaký postup možno obrátiť. Ak by pekár potreboval len polovicu bežného receptu, obe množstvá by sa mohli vynásobiť 1/2 (alebo vydeliť dvoma). Výsledok by bol 1 šálka múky na 1/2 (0.5) šálka cukru.


Nájdite neznáme premenné, keď sú dané dva ekvivalentné pomery. Ďalší bežný typ úlohy, ktorý zahŕňa pomery, vás žiada nájsť neznámu premennú v jednom pomere, pričom je dané druhé číslo v tomto pomere a druhý pomer, ktorý je ekvivalentný prvému. Vďaka princípu krížového násobenia je riešenie týchto úloh pomerne jednoduché. Napíšte každý pomer v jeho zlomkovom tvare, potom nastavte oba pomery tak, aby sa navzájom rovnali, a krížovým násobením vyriešte.[5]

  • Povedzme napríklad, že máme malú skupinu študentov, v ktorej sú 2 chlapci a 5 dievčat. Ak by sme zachovali tento pomer chlapcov a dievčat, koľko chlapcov by bolo v triede, v ktorej je 20 dievčat? Na riešenie najprv vytvorme dva pomery, jeden s našimi neznámymi premennými: 2 chlapci : 5 dievčat = x chlapcov : 20 dievčat. Ak tieto pomery prevedieme do tvaru zlomku, dostaneme 2/5 a x/20. Ak vynásobíte krížom, zostane vám číslo 5x=40 a môžete ho vyriešiť tak, že obe čísla vydelíte číslom 5. Konečné riešenie je x=8.

ODBORNÁ RADA

Grace Imson, MA

Inštruktorka matematiky, City College of San Francisco Grace Imsonová je učiteľka matematiky s viac ako 40-ročnou pedagogickou praxou. Grace je v súčasnosti inštruktorkou matematiky na City College of San Francisco a predtým pôsobila na katedre matematiky na Saint Louis University. Vyučovala matematiku na základnej, strednej, vysokej a vysokej škole. Má magisterský titul z pedagogiky so špecializáciou na administratívu a supervíziu z Univerzity sv. Grace Imson, MA
Inštruktor matematiky, City College of San Francisco

Pozrite sa na poradie členov, aby ste zistili čitateľa a menovateľa v slovnej úlohe. Prvý člen je zvyčajne čitateľ a druhý člen je zvyčajne menovateľ. Napríklad, ak sa v úlohe požaduje pomer dĺžky predmetu k jeho šírke, dĺžka bude čitateľ a šírka menovateľ.

Časť 3 z 3:Chytanie chýb


Vyhnite sa sčítaniu alebo odčítaniu v slovných úlohách o pomere. Mnohé slovné úlohy vyzerajú približne takto: „Recept vyžaduje 4 zemiaky a 5 mrkiev. Ak chcete použiť namiesto 8 zemiakov, koľko mrkví budete potrebovať, aby pomer zostal rovnaký?“ Mnohí študenti sa snažia pridať rovnaké množstvo každého množstva. V skutočnosti musíte použiť násobenie, nie sčítanie, aby bol pomer rovnaký. Tu je príklad nesprávneho a správneho riešenia tohto príkladu:

  • Nesprávna metóda: „Tak som do receptu pridala 4 zemiaky. To znamená, že by som mal vziať 5 mrkví a pripočítať k nim aj 4… čakať! Takto pomery nefungujú. Skúsim to ešte raz.“
  • Správna metóda: „8 ÷ 4 = 2, takže som počet zemiakov vynásobil 2. To znamená, že by som mal vynásobiť aj 5 mrkvičiek dvomi. 5 x 2 = 10, takže v novom recepte chcem spolu 10 mrkiev.“


Previesť na rovnaké jednotky. Niektoré slovné úlohy sú zložité, ak sa v ich časti prejde na inú jednotku. Pred zistením pomeru ho preveďte na rovnakú jednotku. Tu je príklad úlohy a riešenie:

  • Drak má 500 gramov zlata a 10 kilogramov striebra. Aký je pomer zlata a striebra v dračej pokladnici?
  • Gramy a kilogramy nie sú rovnaké jednotky, takže budeme musieť previesť. 1 kilogram = 1 000 gramov, takže 10 kilogramov = 10 kilogramov x
    1,000grams1kilogram{\displaystyle {\frac {1,000gramov}{1kilogram}}}

    = 10 x 1 000 gramov = 10 000 gramov.

  • Drak má 500 gramov zlata a 10 000 gramov striebra.
  • Pomer zlata a striebra je
    500gramsGold10,000gramsSilver=5100=120{\displaystyle {\frac {500gramovZlata}{10 000gramovStriebra}}={\frac {5}{100}}={\frac {1}{20}}}

    .


  • Napíšte do úlohy svoje jednotky. V slovných úlohách o pomere je oveľa jednoduchšie zachytiť chyby, ak jednotky napíšete za každú hodnotu. Nezabudnite, že rovnaká jednotka na vrchu a na spodku zlomku sa ruší. Po zrušení čo najväčšieho počtu jednotiek by ste mali dostať správnu odpoveď.

    • Príkladová úloha: Ak máte šesť krabíc a v každých troch je deväť guľôčok, koľko guľôčok máte?
    • Nesprávna metóda:
      6boxes3boxes9marbles=...{\displaystyle 6boxov*{\frac {3boxy}{9mramorov}}=…}

      Počkajte, nič sa neruší, takže moja odpoveď by bola „krabice x krabice / guličky.“ To nedáva zmysel.

    • Pravá metóda:
      6boxes9marbles3boxes={\displaystyle 6boxov*{\frac {9mramorov}{3boxov}}=} 6boxes3marbles1box={\displaystyle 6boxov*{\frac {3marbles}{1box}}=} 6boxes3marbles1box={\displaystyle {\frac {6boxov*3mrkvy}{1box}}=} 63marbles1={\displaystyle {\frac {6*3marbles}{1}}=}

      18 guľôčok.

    ODBORNÝ TIP

    Grace Imson, MA

    Inštruktorka matematiky, City College of San Francisco Grace Imsonová je učiteľka matematiky s viac ako 40-ročnou pedagogickou praxou. Grace je v súčasnosti inštruktorkou matematiky na City College of San Francisco a predtým pôsobila na katedre matematiky na Univerzite sv. Vyučovala matematiku na základnej, strednej, vysokej škole a na univerzite. Získala magisterský titul v odbore vzdelávanie, špecializácia administratíva a supervízia na Univerzite sv. Grace Imson, MA
    Inštruktor matematiky, City College of San Francisco

    Jedným z bežných problémov je vedieť, ktoré číslo použiť ako čitateľa. V slovnej úlohe je prvý uvedený člen zvyčajne čitateľ a druhý uvedený člen je zvyčajne menovateľ. Ak chcete získať pomer dĺžky predmetu k jeho šírke, dĺžka sa stane vašim čitateľom a šírka menovateľom.

  • Odkazy