Ako vypočítať povrchové integrály: 8 krokov

Povrchové integrály sú zovšeobecnením priamkových integrálov. Zatiaľ čo priamkový integrál závisí od krivky definovanej jedným parametrom, dvojrozmerný povrch závisí od dvoch parametrov.

Povrchový prvok

dS{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }

obsahuje informácie o ploche aj orientácii povrchu. Nižšie odvodíme prvok plochy v štandardnom karteziánskom súradnicovom systéme a uvedieme príklad, ako vyhodnotiť plošné integrály.

Časť 1 z 2:Odvodenie povrchového prvku

Uvažujme ľubovoľnú vektorovú funkciu

r{\displaystyle \mathbf {r} }

. Nižšie necháme

z=f(x,y).{\displaystyle z=f(x,y).}
  • r=xi+yj+f(x,y)k{\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +f(x,y)\mathbf {k} }

Vypočítajte diferenciály. Pre

drx,y{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{x},\,y}

je konštantná a naopak. Používame zápis

fx=f(x,y)x.{\displaystyle f_{x}={\frac {\časť f(x,y)}{\časť x}}.}
  • drx=dxi+fxdxk{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{x}=\mathrm {d} x\mathbf {i} +f_{x}\mathrm {d} x\mathbf {k} }
  • dry=dyj+fydyk{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{y}=\mathrm {d} y\mathbf {j} +f_{y}\mathrm {d} y\mathbf {k} }

Vezmite krížový súčin týchto dvoch diferenciálov.

  • dS=drx×dry=|ijkdx0fxdx0dyfydy|=fxdxdyifydxdyj+dxdyk{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {S} &=\mathrm {d} \mathbf {r} _{x}\times \mathrm {d} \mathbf {r} _{y}\\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\mathrm {d} x&0&f_{x}\mathrm {d} x\0&\mathrm {d} y&f_{y}\mathrm {d} y\end{vmatrix}}\\&=-f_{x}\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathbf {i} -f_{y}\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathbf {j} +\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathbf {k} \end{aligned}}}
  • dS=(fxifyj+k)dxdy{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =(-f_{x}\mathbf {i} -f_{y}\mathbf {j} +\mathbf {k} )\mathrm {d} x\mathrm {d} y}
  • Uvedený vzorec je povrchovým prvkom pre všeobecné plochy definované
    z=f(x,y).{\displaystyle z=f(x,y).}

    Je dôležité poznamenať, že povaha plôch (presnejšie, krížový súčin) stále umožňuje jednu nejednoznačnosť – spôsob, akým smeruje normálový vektor. Výsledok, ktorý sme odvodili, platí pre normály smerom von, ako sa pozná podľa kladného

    k{\displaystyle \mathbf {k} }

    a pre väčšinu aplikácií to bude vždy platiť.

  • Odvodenie funguje v ľubovoľnom súradnicovom systéme. Pozri tipy pre deriváciu v cylindrických súradniciach.


Vizualizácia plošného integrálu. Povrch sa skladá z nekonečne malých políčok, ktoré sú približne rovné. Ako vidíte, spôsob, akým integrujeme nad oblasťou, funguje rovnako a skutočnosť, že prvok plochy označuje aj orientáciu, odráža, že plošné integrály sú silným zovšeobecnením plošných integrálov.

Časť 2 z 2:Plocha povrchu

Vypočítajte plochu funkcie

z=4x2y2{\displaystyle z=4-x^{2}-y^{2}}

nad rovinou xy. Nájdenie plochy zahŕňa nájdenie nižšie uvedeného integrálu. Zaujíma nás len plocha plochy, nie jej orientácia, takže nájdeme jej veľkosť.

  • S|dS|=A1+(zx)2+(zy)2dA{\displaystyle \int _{S}|\mathrm {d} \mathbf {S} |=\int _{A}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} A}

Nájdite veľkosť povrchového prvku. Pripomeňme si z časti 1, že

dS=(fxifyj+k)dA,{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =(-f_{x}\mathbf {i} -f_{y}\mathbf {j} +\mathbf {k} )\mathrm {d} A,}

kde

z=f(x,y).{\displaystyle z=f(x,y).}
  • dS=2xi+2yj+k{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =2x\mathbf {i} +2y\mathbf {j} +\mathbf {k} }
  • |dS|=4x2+4y2+1dA{\displaystyle |\mathrm {d} \mathbf {S} |={\sqrt {4x^{2}+4y^{2}+1}}\mathrm {d} A}

Nastavenie hraníc. Hranica v rovine xy je kružnica s polomerom 2. To znamená, že by sme mali vyhodnocovať aj v polárnych súradniciach.

  • S|dS|=02rdr02πdθ4r2+1{\displaystyle \int _{S}|\mathrm {d} \mathbf {S} |=\int _{0}^{2}r\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta {\sqrt {4r^{2}+1}}}
  • Vyhodnoťte akýmkoľvek možným spôsobom. U-substitúcia je správna cesta.

    • S|dS|=2π02r4r2+1dr,   u=1+4r2=π4117u1/2du=π6(173/21){\displaystyle {\begin{aligned}\int _{S}|\mathrm {d} \mathbf {S} |&=2\pi \int _{0}^{2}r{\sqrt {4r^{2}+1}}\mathrm {d} r,\ \ \ u=1+4r^{2}\&={\frac {\pi }{4}}\int _{1}^{17}u^{1/2}\mathrm {d} u\\&={\frac {\pi }{6}}(17^{3/2}-1)\end{aligned}}