Ako vypočítať pravdepodobnosti kvantových stavov: 13 krokov

Kvantový stav je abstraktný opis častice. Stav opisuje pravdepodobnostné rozdelenia pozorovateľných veličín častice, ako je napríklad uhlový moment hybnosti, lineárny moment hybnosti atď.

V tomto článku sa budeme zaoberať časticami so spinom 1/2 a zameriame sa len na ich spinový moment hybnosti. Vektor kvantového stavu pre časticu so spinom 1/2 možno opísať dvojrozmerným vektorovým priestorom označujúcim spin hore a spin dole. Pokiaľ si uvedomíme zložku spinu, ktorú meriame, ako aj našu konkrétnu bázu, pomocou ktorej stav popisujeme, môžeme zo samotného stavu zistiť množstvo vlastností.

Jazyk maticovej mechaniky nám tieto výpočty veľmi uľahčí, ale najprv musíme pochopiť, o čo ide. Tieto jednoduché výpočty začnú odhaľovať aj poznatky o kvantovej mechanike a o tom, aká je táto teória neintuitívna.

Časť 1 z 3:Základy

Pochopenie bra-ket notácie. Bra-ketová notácia je široko používaná v kvantovej mechanike a môže si vyžadovať určité zvykanie.

  • Stav sa označuje a ket vektor
    |ψ.{\displaystyle |\psi \rangle .}

    Aby sme mohli označiť užitočné informácie, potrebujeme základ, s ktorým budeme pracovať. Zvyčajne nastavíme

    z{\displaystyle z}

    osi ako bázy pre stavy, s ktorými budeme pracovať v tomto článku, podobne ako môžeme zvoliť karteziánske súradnice na reprezentáciu zložiek lineárneho momentu hybnosti alebo elektrického poľa. Možno zvoliť aj iné základy – napr

    x{\displaystyle x}

    os môže byť rovnako ľahko bázou, pre ktorú opíšeme stav

    |ψ.{\displaystyle |\psi \rangle .}
  • V
    z{\displaystyle z}

    základ, stav možno zapísať takto.

    • |ψ=c+|z+c|z{\displaystyle |\psi \rangle =c_{+}|\uparrow _{z}\rangle +c_{-}|\downarrow _{z}\rangle }
  • Ako vidíme,
    |ψ{\displaystyle |\psi \rangle }

    je zapísaný v

    z{\displaystyle z}

    báze pozostávajúcej zo stavov nahor a nadol. Tieto bázové prvky tvoria úplnú množinu, takže tieto dva bázové prvky sú všetko, čo je potrebné na opis spinu častice v

    z{\displaystyle z}

    smer. Konštanty pred kétami sa nazývajú amplitúdy pravdepodobnosti a vo všeobecnosti sú to komplexné čísla. Vektorový priestor, ktorý opisuje spin-1/2 častice (a častice v kvantovej mechanike všeobecne), sa nazýva Hilbertov priestor, čo je v podstate oslávený euklidovský priestor.

  • Z klasického hľadiska by mala byť častica vždy v definitívnom stave – buď spin hore, alebo spin dole. Ako uvidíme, v kvantovej mechanike to nemusí platiť – častica môže byť v superpozície dvoch stavov súčasne!

Vezmite vnútorné súčiny v bra-ketovom zápise.

  • Najzákladnejšou vykonávanou operáciou je vnútorný súčin (bodový súčin je vnútorný súčin). Vnútorný súčin
    ϕ|ψ{\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }

    je opísaný ket

    |ψ{\displaystyle |\psi \rangle }

    na ktorý pôsobí vektor podprsenky

    ϕ|.{\displaystyle \langle \phi |.}

    Ako možno viete, vnútorné súčiny vracajú ako výsledok skalár. Fyzikálny význam vnútorného súčinu spočíva v tom, že opisuje amplitúdu pravdepodobnosti pre časticu, ktorá sa pôvodne nachádza v stave

    |ψ{\displaystyle |\psi \rangle }

    sa nachádza v stave

    |ϕ.{\displaystyle |\phi \rangle .}
  • Pomocou našich znalostí vnútorného súčinu môžeme teraz zapísať stav
    |ψ{\displaystyle |\psi \rangle }

    v termínoch vnútorných súčinov. Nezabudnite, že keď sa stretne podpriemer s ket, tvoria zátvorku (vnútorný súčin) a následne sú to len čísla.

    • |ψ=|zz|ψ+|zz|ψ{\displaystyle |\psi \rangle =|\uparrow _{z}\rangle \langle \uparrow _{z}|\psi \rangle +|\downarrow _{z}\rangle \langle \downarrow _{z}|\psi \rangle }

Porozumieť vnútorným súčinom bázických vektorov.

  • Keďže bázové prvky sú ortonormálne, vnútorný súčin horného stavu s dolným stavom je 0 (a naopak).
    • z|z=z|z=0{\displaystyle \langle \downarrow _{z}|\uparrow _{z}\rangle =\langle \uparrow _{z}|\downarrow _{z}\rangle =0}
  • Naproti tomu vnútorný súčin bázického vektora so sebou samým je 1, ako to určuje naša normalizačná podmienka.
    • z|z=z|z=1{\displaystyle \langle \uparrow _{z}|\uparrow _{z}\rangle =\langle \downarrow _{z}|\downarrow _{z}\rangle =1}
  • Naše bázické prvky
    |z{\displaystyle |\uparrow _{z}\rangle }

    a

    |z{\displaystyle |\downarrow _{z}\rangle }

    boli zvolené tak, aby boli ortonormálne. Ak by sme začali s časticou v hornom stave a merali by sme spin, nebola by žiadna šanca, že nájdeme časticu v dolnom stave, a naopak. Zistili by sme však, že existuje 100 % pravdepodobnosť, že častica v stave up bude nameraná v stave up.

  • Keďže stav je normalizovaný, očakávame, že vnútorný súčin stavu so sebou samým je tiež 1.
    • ψ|ψ=1{\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}

Vypočítajte pravdepodobnosti. Vieme, že každá pozorovateľná veličina musí mať reálnu hodnotu, ale práve sme povedali, že amplitúdy sú vo všeobecnosti komplexné čísla. Aby sme zistili skutočnú pravdepodobnosť, vezmeme modul štvorca vnútorného súčinu.

  • Pravdepodobnosť, že v ľubovoľnom stave
    |ψ{\displaystyle |\psi \rangle }

    možno nájsť v stave „hore“, sa označuje ako

    |z|ψ|2.{\displaystyle |\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle |^{2}.}

    Keďže amplitúda môže byť komplexná, modul na druhú je amplitúda vynásobená jej komplexným konjugátom. Konjugáty označujeme

    {\displaystyle *}

    symbol.

    • |z|ψ|2=z|ψz|ψ{\displaystyle |\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle |^{2}=\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle ^{*}\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle }

Časť 2 z 3:Príklad

Nájdite pravdepodobnosti nižšie uvedených stavov a skontrolujte, či sa ich súčet rovná jednotke, ako sa vyžaduje.

  • |ψ=i3|z+23|z{\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {i}{\sqrt {3}}|\uparrow _{z}\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|\downarrow _{z}\rangle }

Vezmime vnútorné súčiny. Aby sme zistili amplitúdu pravdepodobnosti, že sa častica bude nachádzať v hornom stave, vezmeme vnútorný súčin pre horný a dolný stav.

  • z|ψ=i3z|z+23z|z=i3{\displaystyle \langle \uparrow _{z}|\psi \rangle ={\frac {i}{\sqrt {3}}\langle \uparrow _{z}|\uparrow _{z}\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}\langle \uparrow _{z}|\downarrow _{z}\rangle ={\frac {i}{\sqrt {3}}}}
  • z|ψ=i3z|z+23z|z=23{\displaystyle \langle \downarrow _{z}|\psi \rangle ={\frac {i}{\sqrt {3}}\langle \downarrow _{z}|\uparrow _{z}\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}\langle \downarrow _{z}|\downarrow _{z}\rangle ={\sqrt {\frac {2}{3}}}}

Štvornásobok amplitúdy. Pravdepodobnosť je modul na druhú. Nezabudnite, že modul na druhú znamená vynásobenie amplitúdy jej komplexným konjugátom.

  • |z|ψ|2=i3i3=13{\displaystyle |\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle |^{2}={\frac {-i}{\sqrt {3}}}{\frac {i}{\sqrt {3}}}={\frac {1}{3}}}
  • |z|ψ|2=2323=23{\displaystyle |\langle \downarrow _{z}|\psi \rangle |^{2}={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}={\frac {2}{3}}}

Pridajte pravdepodobnosti. Jasne vidíme, že tieto pravdepodobnosti sa rovnajú 1, takže náš daný stav je normalizovaný.

  • |z|ψ|2+|z|ψ|2=13+23=1{\displaystyle |\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle |^{2}+|\langle \downarrow _{z}|\psi \rangle |^{2}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}=1}

Časť 3 z 3:Maticová mechanika

Prepíšte ľubovoľný kvantový stav v podobe stĺpcového vektora.

  • Najprv si pripomenieme ľubovoľný stav zapísaný v tvare
    z{\displaystyle z}

    základňa.

    • |ψ=|zz|ψ+|zz|ψ{\displaystyle |\psi \rangle =|\uparrow _{z}\rangle \langle \uparrow _{z}|\psi \rangle +|\downarrow _{z}\rangle \langle \downarrow _{z}|\psi \rangle }
  • Stav
    |ψ{\displaystyle |\psi \rangle }

    možno zapísať ako stĺpcový vektor. Pripomeňme si, že klasický vektor, napríklad lineárny moment hybnosti, možno zapísať ako

    p=(px,py,pz),{\displaystyle \mathbf {p} =(p_{x},p_{y},p_{z}),}

    kde sme upustili od jednotkových vektorov. Vektor sa potom môže zapísať ako stĺpcový vektor. Najprv však musíme stanoviť základ. Náš základ pre lineárny vektor hybnosti je zrejmý z indexov označujúcich karteziánske súradnice. Pri zápise stavu pre spinový uhlový moment hybnosti častice však musíme najprv pochopiť, v ktorej báze stav zapisujeme. Akýkoľvek základ je v poriadku – stav nie je sa menia so zmenou súradníc – ale reprezentácia robí zmena.

  • Náš ľubovoľný stav môžeme zapísať nasledovne, pričom vnútorné súčiny nám objasnili, že vyjadrujeme stav v
    z{\displaystyle z}

    bázy. Rovnako ako pri explicitnom zápise stavu v časti 1 sme mohli rovnako ľahko zapísať stav v

    x{\displaystyle x}

    bázu alebo akýkoľvek iný smer.

    • |ψ(z|ψz|ψ){\displaystyle |\psi \rangle \to {\begin{pmatrix}\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle \\langle \downarrow _{z}|\psi \rangle \end{pmatrix}}}

Prepíšte bázické prvky v podobe stĺpcových vektorov. Všimnite si, aké jednoduché sú vektory.

  • |z=(z|zz|z)=(10){\displaystyle |\uparrow _{z}\rangle ={\begin{pmatrix}\langle \uparrow _{z}|\uparrow _{z}\rangle \\langle \downarrow _{z}|\uparrow _{z}\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}}
  • |z=(z|zz|z)=(01){\displaystyle |\downarrow _{z}\rangle ={\begin{pmatrix}\langle \uparrow _{z}|\downarrow _{z}\rangle \\langle \downarrow _{z}|\downarrow _{z}\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

Vezmite transpozičný konjugát, aby ste vytvorili vektory podprsenky. V bra-ketovom zápise je vnútorný súčin lineárny v druhom argumente – teda vektore ket, zatiaľ čo v prvom argumente – teda vektore bra – je antilineárny (konjugovaný). Preto pri zápise príslušného bra musíme vziať transpozíciu a vziať komplexný konjugát všetkých prvkov vektora.

  • ψ|=(ψ|zψ|z)=(z|ψz|ψ){\displaystyle \langle \psi |={\begin{pmatrix}\langle \psi |\uparrow _{z}\rangle &\langle \psi |\downarrow _{z}\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle ^{*}&\langle \downarrow _{z}|\psi \rangle ^{*}\end{pmatrix}}

Urobte vnútorné súčiny pomocou riadkových a stĺpcových vektorov. Vnútorné súčiny sa skladajú z dvoch vektorov a výstupom je skalár, takže pri ich kombinácii platia obvyklé pravidlá násobenia matíc.

  • Vezmime vnútorný súčin stavu so sebou samým. Vidíme, že formulácia maticovej mechaniky je v súlade s našimi očakávaniami.
    • ψ|ψ=(z|ψz|ψ)(z|ψz|ψ)=z|ψz|ψ+z|ψz|ψ=|z|ψ|2+|z|ψ|2=1{\\displaystyle {\begin{aligned}\angle \psi |\psi \rangle &={\begin{pmatrix}\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle ^{*}&\langle \downarrow _{z}|\psi \rangle ^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle \\langle \downarrow _{z}|\psi \rangle \end{pmatrix}}\\&=\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle ^{*}\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle +\langle \downarrow _{z}|\psi \rangle ^{*}\langle \downarrow _{z}|\psi \rangle \\&=|\langle \uparrow _{z}|\psi \rangle |^{2}+|\langle \downarrow _{z}|\psi \rangle |^{2}=1\end{aligned}}}
  • Zopakujte príkladovú úlohu s použitím maticovej mechaniky.

    • Prepíšte stav v
      z{\displaystyle z}

      základ ako stĺpcový vektor.

      • |ψ=13(i2){\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}{\begin{pmatrix}i\\{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}}
    • Vypočítajte amplitúdy.
      • z|ψ=(10)13(i2)=i3{\displaystyle \langle \uparrow _{z}|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}1&0\koniec{matice}}{\frac {1}{\sqrt {3}}{\begin{matice}i\{\sqrt {2}}\koniec{matice}}={\frac {i}{\sqrt {3}}}}
      • z|ψ=(01)13(i2)=23{\displaystyle \langle \downarrow _{z}|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}0&1\koniec{matice}}{\frac {1}{\sqrt {3}}{\begin{matice}i\\{\sqrt {2}}koniec{matice}}={\sqrt {\frac {2}{3}}}}
    • Keďže ide o tie isté vnútorné súčiny, ktoré boli zistené minule, vyplýva z toho, že pravdepodobnosti budú rovnaké.
    • Hoci v tomto článku nikdy nepoužijeme žiadne matice, ukazuje sa, že sú pre maticovú mechaniku kľúčové, pretože predstavujú operátory. Napríklad, keď operátor spinového uhlového momentu
      S^z{\displaystyle {\hat {S}}_{z}}

      pôsobí na vlastný stav operátora, výsledkom je vlastný stav krát vlastná hodnota zodpovedajúca tomuto vlastnému stavu. Vlastná hodnota je veličina skutočne pozorovaná v laboratóriu, zatiaľ čo samotný akt aplikácie operátora zodpovedá meranie vytvorené detektorom.

    • Pri samotnom výpočte pravdepodobností nie je použitie maticovej mechaniky žiadnou výhodou oproti priamym vnútorným súčinom. Pri riešení ďalších tém, ako sú napríklad očakávané hodnoty, neurčitosti a problémy vlastných stavov/vlastných hodnôt, sa však matice musí sa používa kvôli prehľadnosti a jednoduchosti.