Ako vypočítať priamkové integrály: 15 krokov

Priamkové integrály sú prirodzeným zovšeobecnením integrovania, ako sa ho prvýkrát naučíme v počte s jednou premennou. Namiesto intervalu, na ktorom sa má integrovať, priamkové integrály zovšeobecňujú hranice na dva body, ktoré spájajú krivku, ktorá môže byť definovaná v dvoch alebo viacerých rozmeroch. Integrovaná funkcia môže byť definovaná buď skalárnym, alebo vektorovým poľom, pričom druhé menované pole je v aplikáciách oveľa užitočnejšie. Podobne ako pri integrovaní s jednou premennou, aj pri riadkových integráloch existuje príslušná základná veta, ktorá výrazne uľahčuje vyhodnocovanie.

Časť 1 z 3:Skalárne polia


Aplikujte definíciu Riemannovho súčtu integrálu na riadkové integrály definované skalárnymi poľami. Chceme, aby naša funkcia

f{\displaystyle f}

byť funkciou viac ako jednej premennej a náš diferenciálny prvok

ds{\displaystyle \mathrm {d} s}

musia závisieť len od samotnej krivky a nie súradnicový systém, ktorý používame. Ako vidno z uvedeného grafu, všetko, čo robíme, je zovšeobecnenie plochy pod krivkou, ako sa učíme v počte s jednou premennou, ktorej priebeh je obmedzený len na os x. Tento krok nie je potrebný na riešenie úloh, ktoré sa zaoberajú riadkovými integrálmi, ale poskytuje len podklady na to, ako vzorec vzniká.

  • limΔsi0i=1nf(xi,yi)Δsi{\displaystyle \lim _{\Delta s_{i}\do 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i})\Delta s_{i}}
  • Tento tvar by vám mal byť známy. Sčítavame obdĺžniky s výškou
    f(xi,yi){\displaystyle f(x_{i},y_{i})}

    a šírka

    Δsi.{\displaystyle \Delta s_{i}.}

    Tieto obdĺžniky sú ohraničené našou krivkou, ako je rozpoznané

    s{\displaystyle s}

    premenná, ktorá označuje dĺžku oblúka. Potom berieme hranicu ako

    Δsi0{\displaystyle \Delta s_{i}\do 0}

    na obnovenie integrálu, kde

    Δs{\displaystyle \Delta s}

    sa nahrádza diferenciálom

    ds.{\displaystyle \mathrm {d} s.}

    Nižšie,

    C{\displaystyle C}

    je krivka, ktorú integrujeme.

    • Cf(x,y)ds{\displaystyle \int _{C}f(x,y)\mathrm {d} s}

Preparametrizujte integrál v zmysle

t{\displaystyle t}

. Hoci je vyššie uvedený integrál pravdivý, nie je veľmi užitočný, pretože výpočty sa môžu rýchlo stať ťažkopádnymi. Nevyhnutne potrebujeme súradnicový systém, s ktorým budeme pracovať – taký, ktorý si môžeme pre naše pohodlie vybrať.

  • Uvažujte integrál
    Cxy4ds,{\displaystyle \int _{C}xy^{4}\mathrm {d} s,}

    kde

    C{\displaystyle C}

    je pravá polovica kružnice

    x2+y2=16.{\displaystyle x^{2}+y^{2}=16.}
  • Reparametrizácia prevodom na polárne súradnice. Túto parametrizáciu si môžete overiť tak, že ju opäť dosadíte do rovnice kružnice a použijete trigonometrickú identitu
    cos2t+sin2t=1.{\displaystyle \cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1.}
    • x=4cost{\displaystyle x=4\cos t}
    • y=4sint{\displaystyle y=4\sin t}

Preparametrizujte diferenciálny prvok v zmysle

t{\displaystyle t}

. Keďže náš integrál je v tvaroch

t,{\displaystyle t,}

tak aj náš diferenciálny prvok.

  • Použite Pytagorovu vetu na vzťah dĺžky oblúka
    s{\displaystyle s}

    na

    x{\displaystyle x}

    a

    y.{\displaystyle y.}
    • ds2=dx2+dy2ds=dx2+dy2{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} s^{2}&=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}\\mathrm {d} s&={\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}\end{aligned}}}
  • Vypočítajte diferenciály
    x{\displaystyle x}

    a

    y.{\displaystyle y.}
    • dx=4sintdt{\displaystyle \mathrm {d} x=-4\sin t\mathrm {d} t}
    • dy=4costdt{\displaystyle \mathrm {d} y=4\cos t\mathrm {d} t}
  • Substitúcia do dĺžky oblúka.
    • ds=(4sintdt)2+(4costdt)2=4dtsin2t+cos2t=4dt{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} s&={\sqrt {(-4\sin t\mathrm {d} t)^{2}+(4\cos t\mathrm {d} t)^{2}}}\&=4\mathrm {d} t{\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}}\&=4\mathrm {d} t\end{aligned}}

Stanovte hranice v zmysle hodnôt

t{\displaystyle t}

. Naša parametrizácia nás previedla do polárnych súradníc, takže naše hranice musia byť uhly. Máme do činenia s krivkou, ktorá opisuje pravú polovicu kružnice. Preto budú naše hranice nasledovné

π/2{\displaystyle -\pi /2}

na

π/2.{\displaystyle \pi /2.}
  • π/2π/2(4cost)(4sint)44dt{\displaystyle \int _{-\pi /2}^{\pi /2}(4\cos t)(4\sin t)^{4}4\mathrm {d} t}

Vyhodnoťte integrál. V predposlednom kroku si uvedomíme, že

u4{\displaystyle u^{4}}

je párna funkcia, takže na zjednodušenie hraníc sa môže vytiahnuť faktor 2.

  • Cxy4ds=46π/2π/2costsin4tdt,u=sint=4611u4du=(22)6201u4du=2135{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}xy^{4}\mathrm {d} s&=4^{6}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos t\sin ^{4}t\mathrm {d} t,u=\sin t\&=4^{6}\int _{-1}^{1}u^{4}\mathrm {d} u\\&=(2^{2})^{6}2\int _{0}^{1}u^{4}\mathrm {d} u\\&={\frac {2^{13}}{5}}\end{aligned}}}

Časť 2 z 3:Vektorové polia

Aplikujte definíciu Riemannovho súčtu integrálu na priamkové integrály definované vektorovými poľami. Keďže sa teraz zaoberáme vektorovým poľom, musíme nájsť spôsob, ako prepojiť diferenciálne prvky krivky v tomto poli (jednotkové dotyčnice vektorov) so samotným poľom. Ako predtým, tento krok je tu len preto, aby sme vám ukázali, ako sa odvodí integrál.

  • limΔri0i=1nF(ri)Δri{\displaystyle \lim _{\Delta \mathbf {r} _{i}\do 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}}
  • CF(r)dr{\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }
  • Ukazuje sa, že bodový súčin je tu správnou voľbou. Jediné príspevky vektorového poľa ku krivke, nad ktorou sa integruje, sú zložky rovnobežné s krivkou. Fyzikálny príklad práce vám môže pomôcť pri intuícii, pretože žiadnu prácu nevykonáva sila kolmá na smer pohybu, napríklad gravitácia pôsobiaca na auto na rovnej ceste bez sklonu. To všetko vyplýva zo skutočnosti, že vektorové pole pôsobí samostatne na každú zo zložiek krivky.

Preparametrizujte integrál v zmysle

t{\displaystyle t}

. Tak ako predtým, musíme náš integrál zapísať vo vhodnom súradnicovom systéme.

  • Uvažujme integrál
    CFdr,{\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ,}

    kde

    F=(x2yy)i+xy2j{\displaystyle \mathbf {F} =(x^{2}y-y)\mathbf {i} +xy^{2}\mathbf {j} }

    a

    C{\displaystyle C}

    je krivka

    y=xn{\displaystyle y=x^{n}}

    z

    (0,0){\displaystyle (0,0)}

    na

    (1,1).{\displaystyle (1,1).}

    Táto krivka je mocninovou funkciou stupňa

    n,{\displaystyle n,}

    kde

    n{\displaystyle n}

    je ľubovoľné reálne číslo, takže parametrizácia je mimoriadne jednoduchá. Overte si to spätnou substitúciou do rovnice krivky.

    • x=t{\displaystyle x=t}
    • y=tn{\displaystyle y=t^{n}}

Preparametrizujte diferenciálny prvok v zmysle

t{\displaystyle t}

.

  • Vzťah
    r{\displaystyle \mathbf {r} }

    k

    x{\displaystyle x}

    a

    y{\displaystyle y}

    v zmysle

    t.{\displaystyle t.}
    • r=ti+tnj{\displaystyle \mathbf {r} =t\mathbf {i} +t^{n}\mathbf {j} }
  • Vypočítajte diferenciál.
    • dr=dti+ntn1dtj{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} t\mathbf {i} +nt^{n-1}\mathrm {d} t\mathbf {j} }

Nastavte hranice v zmysle hodnôt

t{\displaystyle t}

. Vypočítajte bodový súčin dosadením výrazu pre

dr(t){\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} (t)}

.

  • 01[(t2tntn)i+((t)(t2n))j][dti+ntn1dtj]01(tn+2tn+nt3n)dt{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{1}[(t^{2}t^{n}-t^{n})\mathbf {i} +((t)(t^{2n}))\mathbf {j} ]\cdot [\mathrm {d} t\mathbf {i} +nt^{n-1}\mathrm {d} t\mathbf {j} ]\\&\int _{0}^{1}(t^{n+2}-t^{n}+nt^{3n})\mathrm {d} t\end{aligned}}}

Vyhodnoťte integrál.

  • CFdr=1n+31n+1+n3n+1{\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ={\frac {1}{n+3}}-{\frac {1}{n+1}}+{\frac {n}{3n+1}}}
  • Tento výraz platí pre ľubovoľnú mocninovú funkciu, takže nahradením hodnoty pre
    n,{\displaystyle n,}

    môžeme tento integrál vyhodnotiť pozdĺž tejto konkrétnej krivky. Limit nastane, keď vezmeme

    n={\displaystyle n=\infty }

    alebo

    n=0;{\displaystyle n=0;}

    Prvý popisuje krivku pozdĺž osi x smerom nahor, zatiaľ čo druhý popisuje krivku pozdĺž osi y smerom naprieč. Niekoľko príkladov je uvedených nižšie.

  • n=2:CFdr=1(2)+31(2)+1+(2)3(2)+1=1513+27{\displaystyle {\begin{aligned}n=2:\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &={\frac {1}{(2)+3}}-{\frac {1}{(2)+1}}+{\frac {(2)}{3(2)+1}}\\&={\frac {1}{5}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{7}}\end{aligned}}}
  • n=:CFdr=limn(1n+31n+1+n3n+1)=13{\displaystyle {\begin{aligned}n=\infty :\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\lim _{n\to \infty }\levo({\frac {1}{n+3}}-{\frac {1}{n+1}}+{\frac {n}{3n+1}}\pravo)\\&={\frac {1}{3}}\end{aligned}}}

Časť 3 z 3:Veta o gradiente

Zovšeobecnite základnú vetu kalkulu. Základná veta je jednou z najdôležitejších viet v počítaní, pretože spája funkciu s jej antiderivátmi, čím zavádza integráciu a diferenciáciu ako inverzné operátory. Keďže sa týka priamkových integrálov, je veta o gradiente, známa aj ako základná veta pre priamkové integrály, je mocné tvrdenie, ktoré sa vzťahuje na vektorovú funkciu

F{\displaystyle \mathbf {F} }

ako gradient skalára

f,{\displaystyle \nabla f,}

kde

f{\displaystyle f}

sa nazýva potenciál. Nižšie je krivka

C{\displaystyle C}

spája svoje dva koncové body z

a{\displaystyle a}

na

b{\displaystyle b}

ľubovoľným spôsobom.

  • CFdr=f(b)f(a){\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =f(b)-f(a)}
  • F=f{\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}

    definuje vektorové pole ako konzervatívne. Konzervatívne polia majú teda vlastnosť nezávislosti na ceste – bez ohľadu na to, akú cestu medzi dvoma koncovými bodmi zvolíte, integrál sa vyhodnotí ako rovnaký. Platí to aj naopak – nezávislosť na ceste znamená konzervatívne pole.

  • Dôsledkom tejto dôležitej vlastnosti je, že slučkový integrál pre konzervatívny
    F{\displaystyle \mathbf {F} }

    sa vyhodnotí ako 0.

    • CFdr=0{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =0}
  • Je zrejmé, že konzervatívne polia sa vyhodnocujú oveľa ľahšie ako nekonzervatívne polia. Kontrola, či je funkcia konzervatívna alebo nie, bude preto užitočnou technikou na vyhodnocovanie priamkových integrálov. Zvyšok tejto časti bude venovaný práci s konzervatívnymi poľami.

Nájdite potenciálnu funkciu. Aby sme preskočili to, čo by bolo zdĺhavým výpočtom integrálu, môžeme jednoducho nájsť potenciál a vyhodnotiť ho v koncových bodoch.

  • Uvažujme funkciu
    F=(2xy2y2+2x)i+(2x2y52xy)j,{\displaystyle \mathbf {F} =(2xy^{2}-y^{2}+2x)\mathbf {i} +(2x^{2}y-5-2xy)\mathbf {j} ,}

    kde chceme vyhodnocovať v koncových bodoch

    (0,2){\displaystyle (0,2)}

    na

    (2,1).{\displaystyle (2,1).}

    Nezabudnite, že konzervatívne polia sú nezávislé od cesty, takže môžeme použiť vetu o gradiente.

Čiastočne integrovať vzhľadom na každú premennú. Každá zložka vektorového poľa je parciálnou deriváciou potenciálu

f.{\displayystyle f.}

Preto, aby sme tento potenciál obnovili, musíme každú zložku integrovať vzhľadom na tú istú premennú. Upozornenie spočíva v tom, že týmto postupom možno obnoviť len časť pôvodnej funkcie, takže tento krok sa musí vo všeobecnosti vykonať s každou zložkou.

  • fxdx=f+G(y)+C{\displaystyle \int {\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x=f+G(y)+C}
  • fydy=f+H(x)+C{\displaystyle \int {\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y=f+H(x)+C}
  • „Konštanty integrácie“
    G(y){\displaystyle G(y)}

    a

    H(x){\displaystyle H(x)}

    znamenajú, že sa stráca nejaká informácia, rovnako ako pripočítanie konštanty

    C{\displaystyle C}

    pri integrácii s jednou premennou sa musí vykonať, pretože antideriváty nie sú jedinečné. Teraz už len vykonáme integrály.

    • fx=2xy2y2+2xfxdx=x2y2y2xx2+G(y)+C{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\parciálny f}{\parciálny x}}=2xy^{2}-y^{2}+2x\\\int &{\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x=x^{2}y^{2}-y^{2}x-x^{2}+G(y)+C\end{aligned}}}
    • fy=2x2y52xyfydy=x2y25yxy2+H(x)+C{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\časť f}{\časť y}}=2x^{2}y-5-2xy\\int &{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y=x^{2}y^{2}-5y-xy^{2}+H(x)+C\end{aligned}}}

Doplňte integračné konštanty. Všimnite si, že

G(y)=5y,{\displaystyle G(y)=5y,}

a

H(x)=x2.{\displaystyle H(x)=x^{2}.}

Pri integráloch sa odhalia členy s jednou premennou. Tieto výrazy sú pokryté konštantami integrácie pri inom vyhodnotení. Skutočná konštanta

C{\displaystyle C}

stále existuje, ale pre naše účely ju môžeme zanedbať. Našli sme teda potenciálnu funkciu až po konštantu.

  • f(x,y)=x2y2xy2+x25y{\displaystyle f(x,y)=x^{2}y^{2}-xy^{2}+x^{2}-5y}
  • Vyhodnoťte v koncových bodoch. Tento postup integrácie vynecháva bodový súčin a vyhýba sa chaotickej integrácii, ktorá by vznikla, keby sme parametrizovali v tvaroch

    t.{\displayystyle t.}
    • CFdr=f(2,1)f(0,2)=11{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=f(2,1)-f(0,2)\\&=11\end{zarovnané}}