Ako vypočítať únikovú rýchlosť: 10 krokov

Úniková rýchlosť je rýchlosť potrebná na to, aby objekt prekonal gravitačnú silu planéty, na ktorej sa nachádza. Napríklad raketa letiaca do vesmíru musí dosiahnuť únikovú rýchlosť, aby sa dostala zo Zeme do vesmíru.

Časť 1 z 2:Pochopenie únikovej rýchlosti


Definujte únikovú rýchlosť. Úniková rýchlosť je rýchlosť objektu potrebná na prekonanie gravitačnej sily planéty, na ktorej sa objekt nachádza, aby unikol do vesmíru. Väčšia planéta má väčšiu hmotnosť a vyžaduje oveľa väčšiu únikovú rýchlosť ako menšia planéta s menšou hmotnosťou.[1]

Začnite so zachovaním energie. Zachovanie energie hovorí, že celková energia izolovaného systému zostáva nezmenená. V nasledujúcom odvodení budeme pracovať so systémom Zem-raketa a budeme predpokladať, že tento systém je izolovaný.

  • Pri zachovaní energie vyrovnávame počiatočnú a konečnú potenciálnu a kinetickú energiu
    K1+U1=K2+U2,{\displaystyle K_{1}+U_{1}=K_{2}+U_{2},}

    kde

    K{\displaystyle K}

    je kinetická energia a

    U{\displaystyle U}

    je potenciálna energia.

Definujte kinetickú a potenciálnu energiu.

  • Kinetická energia je energia pohybu a rovná sa
    12mv2,{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2},}

    kde

    m{\displaystyle m}

    je hmotnosť rakety a

    v{\displaystyle v}

    je jeho rýchlosť.

  • Potenciálna energia je energia, ktorá vyplýva z toho, kde sa objekt nachádza vzhľadom na telesá v sústave. Vo fyzike zvyčajne definujeme potenciálnu energiu ako 0 v nekonečnej vzdialenosti od Zeme. Keďže gravitačná sila je príťažlivá, potenciálna energia rakety bude vždy záporná (a tým menšia, čím bližšie je k Zemi). Potenciálna energia v systéme Zem-raketa sa teda zapisuje ako
    GMmr,{\displaystyle -{\frac {GMm}{r}},}

    kde

    G{\displaystyle G}

    je Newtonova gravitačná konštanta,

    M{\displaystyle M}

    je hmotnosť Zeme a

    r{\displaystyle r}

    je vzdialenosť medzi stredmi oboch hmotností.

Nahraďte tieto výrazy do zákona zachovania energie. Keď raketa dosiahne minimálnu rýchlosť potrebnú na únik zo Zeme, nakoniec sa zastaví v nekonečnej vzdialenosti od Zeme, takže

K2=0.{\displaystyle K_{2}=0.}

Potom raketa nebude cítiť gravitačnú silu Zeme a nikdy nespadne späť na Zem, takže

U2=0{\displaystyle U_{2}=0}

ako aj.

  • 12mv2GMmr=0{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {GMm}{r}}=0}

Riešenie pre v.

  • 12mv2=GMmrv2=2GMrv=2GMr{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}mv^{2}&={\frac {GMm}{r}}\v^{2}&={\frac {2GM}{r}}\v&={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}koniec {zarovnané}}}
  • v{\displaystyle v}

    vo vyššie uvedenej rovnici je úniková rýchlosť rakety – minimálna rýchlosť potrebná na únik z gravitačného pôsobenia Zeme.

  • Všimnite si, že úniková rýchlosť nezávisí od hmotnosti rakety
    m.{\displaystyle m.}

    Hmotnosť sa odráža v potenciálnej energii, ktorú poskytuje zemská gravitácia, ako aj v kinetickej energii, ktorú poskytuje pohyb rakety.

Časť 2 z 2:Výpočet únikovej rýchlosti

Uveďte rovnicu pre únikovú rýchlosť.

  • v=2GMr{\displaystyle v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}
  • Rovnica predpokladá, že planéta, na ktorej sa nachádzate, je guľatá a má konštantnú hustotu. V reálnom svete úniková rýchlosť závisí od toho, kde sa na povrchu nachádzate, pretože planéta sa v dôsledku rotácie na rovníku vydúva a má mierne premenlivú hustotu v dôsledku svojho zloženia.

Pochopte premenné rovnice.

  • G=6.67×1011 N m2 kg2{\displaystyle G=6.67\times 10^{-11}{\rm {\ N\ m^{2}\ kg^{-2}}}}

    je Newtonova gravitačná konštanta. Hodnota tejto konštanty odráža skutočnosť, že gravitácia je neuveriteľne slabá sila. Experimentálne ju určil Henry Cavendish v roku 1798,[2]
    ale ukázalo sa, že je veľmi ťažké ho presne zmerať.

    • G{\displaystyle G}

      možno zapísať len s použitím základných jednotiek ako

      6.67×1011 m3 kg1 s2,{\displaystyle 6.67\times 10^{-11}{\rm {\ m^{3}\ kg^{-1}\ s^{-2}},}

      od

      1 N=1 kg m s2.{\displaystyle 1{\rm {\ N}}=1{\rm {\ kg\ m\ s^{-2}}.}

      [3]

  • Hmotnosť
    M{\displaystyle M}

    a polomer

    r{\displaystyle r}

    závisia od planéty, z ktorej chcete uniknúť.

  • Musíte previesť na jednotky SI. To znamená, že hmotnosť je v kilogramoch (kg) a vzdialenosť je v metroch (m). Ak nájdete hodnoty, ktoré sú v iných jednotkách, napríklad v míľach, prepočítajte ich na SI.

Určte hmotnosť a polomer planéty, na ktorej sa nachádzate. Pre Zem, za predpokladu, že sa nachádzate na úrovni mora,

r=6.38×106 m{\displaystyle r=6.38\times 10^{6}{\rm {\ m}}

a

M=5.98×1024 kg.{\displaystyle M=5.98\times 10^{24}{\rm {\ kg}}.}
  • Vyhľadajte na internete tabuľku hmotností a polomerov iných planét alebo mesiacov.

Dosadíme hodnoty do rovnice. Teraz, keď máte potrebné informácie, môžete začať riešiť rovnicu.

  • v=2(6.67×1011 m3 kg1 s2)(5.98×1024 kg)(6.38×106 m){\displaystyle v={\sqrt {\frac {2(6.67 krát 10^{-11}{\rm {\ m^{3}\ kg^{-1}\ s^{-2}})(5.98\times 10^{24}{\rm {\ kg}})}{(6.38\times 10^{6}{\rm {\ m}})}}}}
  • Vyhodnoťte. Nezabudnite súčasne vyhodnotiť svoje jednotky a podľa potreby ich zrušiť, aby ste získali rozmerovo konzistentné riešenie.

    • v=2(6.67)(5.98)(6.38)×107 m2 s211200 m s1=11.2 km s1{\displaystyle {\begin{aligned}v&={\sqrt {{\frac {2(6.67)(5.98)}{(6.38)}}}\times 10^{7}{\rm {\ m^{2}\ s^{-2}}}}}\\&\cca 11200{\rm {\ m\ s^{-1}}}\\&=11.2{\rm {\ km\ s^{-1}}}\end{aligned}}}
    • V poslednom kroku sme previedli odpoveď z jednotiek SI na
       km s1{\displaystyle {\rm {\ km\ s^{-1}}}}

      vynásobením konverzným faktorom

      1 km1000 m.{\displaystyle {\frac {\text{1 km}}{\text{1000 m}}.}
  • Odkazy