Ako vypočítať (x+y)^n pomocou Pascalovho trojuholníka: 9 krokov

Vo svete matematiky je algebra dominantným predmetom. Všetci by sme mali vedieť (x+y)2, čo sa rovná: x2+2xy+y2. Mali by sme tiež vedieť (x+y)3. Ale čo tak (x+y)15 alebo (x+y)8?

Kroky


Na čistý list papiera nakreslite Pascalov trojuholník, pričom vpravo vyhraďte nejaké miesto. Nakreslite trojuholník aspoň do 5 riadkov.


V pravej časti každého riadku Pascalovho trojuholníka napíšte (x+y).


Teraz vezmite mocniny n, n+1, n+2... na (x+y). V ostatných prípadoch začnite s (x+y)0, potom (x+y)1, (x+y)2. Zapíšte si mocniny.

  • N na mocninu 0 je vždy 1. To znamená, že (x+y)0 je 1.
  • Taktiež (x+y)1 je jednoducho (x+y).


4Ak vidíte z Pascalovho trojuholníka, prvá 1 predstavuje (x+y), pričom 1 je 0.


Ďalší riadok Pascalovho trojuholníka (1, 1) predstavuje (x+y)1, pričom prvá 1 je koeficient x a druhá je koeficient y.


Ďalší riadok Pascalovho trojuholníka, (1, 2, 1) predstavuje (x+y)2, pričom prvá 1 je koeficient x2, druhá ako koeficient 2xy a tretia ako koeficient y2.


Zmätený? Z matematického hľadiska bude každá 1, ktorú uvidíte, okrem prvého riadku, predstavovať buď koeficienty x, alebo y. Bude vždy máte najvyššiu mocninu použitú vo vašom (x+y)N, čo je N.

  • Čísla v riadku v Pascalovom trojuholníku sa budú vzťahovať na koeficienty jednotlivých členov, pričom množstvo čísel v riadku sa vzťahuje na celkové množstvo členov vzťahujúcich sa na (x+y)N.


Každý x výrazu výkon sa bude v priebehu výrazov znižovať, ako napr: x3, potom x2, potom x a potom 1: čo v tomto procese predstavuje NIL.


  • Každá mocnina člena y sa bude zvyšovať nad členmi, ako napr: , 1: čo predstavuje NIL v tomto procese, y, potom y2, potom y3.

    • Príklad: (x+y)4
    • Keďže mocnina (n) = 4, mali by sme sa pozrieť na piaty (n+1)-ty riadok Pascalovho trojuholníka. Teda (n + 1 = 5)-ty riadok Pascalovho trojuholníka je:
      1 4 6 4 1
    • Preto, 1 4 6 4 1 predstavujú koeficienty členov x & y po rozšírení (x+y)4.
    • Odpoveď: x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4