Ako vyriešiť slovné úlohy so zmiešaním (s obrázkami)

Slovné úlohy o zmesiach zahŕňajú vytvorenie zmesi z dvoch zložiek. Bežným typom problému je vytvorenie roztoku určitej sily, napríklad 20 % fyziologického roztoku, z dvoch roztokov rôznej sily. Keďže ide o viacstupňové úlohy, ktoré zahŕňajú trochu logiky, ich riešenie môže byť niekedy mätúce. Je užitočné začať riešenie týchto typov úloh vytvorením tabuľky, ktorá vám pomôže sledovať premenné. Odtiaľto môžete použiť algebru na zistenie chýbajúcej informácie.

Časť 1 zo 4:Nastavenie tabuľky


Vytvorte tabuľku s tromi riadkami a tromi stĺpcami. Tabuľka vám pomôže pristupovať k problému logicky, aby ste mohli zostaviť rovnicu.[1]
Riadky budú predstavovať každú zložku v zmesi plus zmes. Takže pre zmes dvoch zložiek potrebujete tri riadky. Prvý riadok označte pre zložku 1, druhý riadok pre zložku 2 a tretí riadok pre zmes.

  • Napríklad môžete mať 20 % fyziologický roztok a 15 % fyziologický roztok. Ak potrebujete vyrobiť 5 litrov 18 % fyziologického roztoku, koľko litrov každého roztoku musíte skombinovať?
  • Pre tento problém by ste označili tri riadky „20% roztok“, „15% roztok“ a „18% zmes“.“


Označiť a vyplniť prvý stĺpec. Prvý stĺpec bude obsahovať hodnoty, ktoré predstavujú podiel každej zložky na celkovej zmesi alebo roztoku. Označte stĺpec „Množstvo“ a vyplňte bunku pre každú zložku. Ak nie je známe množstvo každej zložky v konečnej zmesi, použite premenné, ktoré budú tieto hodnoty reprezentovať.[2]

  • Ak napríklad miešate soľné roztoky, stĺpec „Množstvo“ by ste označili ako.“ Keďže neviete, koľko 20 % roztoku je v konečnej zmesi, zapíšte premennú
    x{\displaystyle x}

    v tejto bunke. Keďže tiež neviete, koľko 15 % roztoku je vo výslednej zmesi, zapíšte premennú

    y{\displaystyle y}

    v tejto bunke. Keďže viete, že potrebujete 5 litrov konečnej zmesi, do tejto bunky napíšete 5.


Označte a doplňte druhý stĺpec. Ak riešite úlohu týkajúcu sa zriedených roztokov, napríklad soľného roztoku, potom tento stĺpec bude predstavovať percentuálny podiel soľného roztoku v každej jednotke zložky.

  • Druhý stĺpec by ste napríklad označili „Percentuálny podiel fyziologického roztoku.“ Keďže prvá zložka je 20 % soľný roztok, do prvého riadku napíšete .20. Keďže druhý roztok je 15 % fyziologický roztok, do druhého riadku napíšete .15. Keďže konečná zmes musí mať 18 % fyziologického roztoku, do tretieho riadku napíšete .18.


Označte a doplňte tretí stĺpec. Ak vypĺňate úlohu týkajúcu sa zriedeného roztoku, potom tento stĺpec bude predstavovať množstvo zlúčeniny, ktoré každá zložka pridáva do celkového roztoku. Ak chcete zistiť hodnoty pre tento stĺpec, vynásobte prvé dve hodnoty v každom riadku.[3]

  • Potrebujete napríklad
    x{\displaystyle x}

    množstvo prvej zložky, ktorou je 20% fyziologický roztok, v treťom stĺpci je hodnota pre túto zložku

    .20x{\displaystyle .20x}

    . Keďže potrebujete

    y{\displaystyle y}

    množstvo druhej zložky, ktorou je 15 % fyziologický roztok, v treťom stĺpci je hodnota pre túto zložku

    .15y{\\displaystyle .15y}

    . Keďže pre celkovú zmes potrebujete 5 litrov a slanosť bude 18 %, hodnota pre tretí stĺpec je

    (5)(.18)=.9{\displaystyle (5)(.18)=.9}

    , čo znamená, že je tam

    .9{\\displaystyle .9}

    litrov fyziologického roztoku v konečnej zmesi.

Časť 2 zo 4:Nastavenie rovnice


Druhú premennú prepíšte v tvare

x{\displaystyle x}

. Keďže potrebujete vyriešiť rovnicu, mali by ste pracovať len s jednou premennou. Ak chcete prepísať druhú premennú, pozrite sa na celkové množstvo výslednej zmesi (prvý stĺpec vašej tabuľky). Rozdiel medzi celkovým množstvom zmesi a prvou premennou sa rovná druhej premennej.[4]

  • Keďže potrebujete napríklad 5 litrov konečnej zmesi a prvá zložka sa rovná
    x{\displaystyle x}

    litrov tohto roztoku, druhá zložka sa rovná

    5x{\displaystyle 5-x}

    litrov.


Nahraďte nový výraz druhej premennej do mriežky. Zakaždým, keď sa zobrazí

y{\displaystyle y}

v mriežke nahraďte premennú prepísanú v zmysle

x{\displaystyle x}

. Pravdepodobne to bude v druhom riadku, treťom stĺpci.

  • Ak ste napríklad zistili, že
    y=5x{\displaystyle y=5-x}

    , v treťom stĺpci druhej zložky musíte zmeniť

    .15y{\displaystyle .15y}

    na

    .15(5x){\displaystyle .15(5-x)}

    .


Hodnotu zapíšte do tretieho riadku tretieho stĺpca. Ide o celkové množstvo zložky v konečnej zmesi. Táto hodnota bude prvou polovicou vašej rovnice.

  • Napríklad viete, že výsledná 18 % zmes bude mať .9 litrov fyziologického roztoku v ňom. Takže prvá polovica vašej rovnice je
    .9{\displaystyle .9}

    .


Súčet hodnôt v prvom a druhom riadku tretieho stĺpca. Toto sú celkové množstvá zlúčeniny, ktoré každá zložka pridáva do zmesi. Tieto sčítance sú druhou polovicou rovnice.

  • Napríklad, keďže výsledná zmes bude odvodená
    .20x{\displaystyle .20x}

    fyziologický roztok z prvej zložky a

    .15(5x){\displaystyle .15(5-x)}

    fyziologický roztok z druhej zložky, bude vaša rovnica vyzerať takto:

    .9=.20x+.15(5x){\\displaystyle .9=.20x+.15(5-x)}

    .

Časť 3 zo 4:Riešenie problému


Vyriešte rovnicu pre

x{\displaystyle x}

. Na izoláciu premennej použite pravidelné pravidlá algebry. Nezabudnite, že čokoľvek urobíte s jednou stranou rovnice, musíte urobiť aj s druhou stranou.

  • Napríklad na riešenie
    .9=.20x+.15(5x){\displaystyle .9=.20x+.15(5-x)}

    :

    • Najprv použite distribučnú vlastnosť na zjednodušenie hodnoty v zátvorkách:
      .9=.20x+.75.15x{\\displaystyle .9=.20x+.75-.15x}

      .

    • Po druhé, spojte
      x{\displaystyle x}

      podmienky:

      .9=.05x+.75{\displaystyle .9=.05x+.75}

      .

    • Po tretie, odčítajte
      .75{\displaystyle .75}

      z každej strany:

      .9.75=.05x+.75.75{\displaystyle .9-.75=.05x+.75-.75}

      .15=.05x{\displaystyle .15=.05x}

      .

    • Po štvrté, každú stranu vydeľte
      .05{\displaystyle .05}

      :

      .15.05=.05x.05{\displaystyle {\frac {.15}{.05}}={\frac {.05x}{.05}}}

      3=x{\displaystyle 3=x}

      Takže na konečnú zmes potrebujete 3 litre prvej zložky, 20% fyziologického roztoku.


Nájdite hodnotu

y{\displaystyle y}

. Spomeňte si, že v pôvodnej tabuľke ste mali dve premenné,

x{\displaystyle x}

a

y{\displaystyle y}

. Ak chcete zistiť hodnotu

y{\displaystyle y}

, vráťte sa k výrazu, ktorý ste použili na preformulovanie

y{\displaystyle y}

v zmysle

x{\displaystyle x}

. Zapojte hodnotu

x{\displaystyle x}

do tejto rovnice a vyriešte.

  • Ak ste napríklad zistili, že
    y=5x{\displaystyle y=5-x}

    a

    3=x{\displaystyle 3=x}

    , dosaďte do rovnice hodnotu 3 a vyriešte ju:

    y=53{\displaystyle y=5-3}

    y=2{\displaystyle y=2}


Napíš svoju konečnú odpoveď. Premenná

x{\displaystyle x}

vám poskytne chýbajúcu hodnotu pre prvú zložku. Premenná

y{\displaystyle y}

vám poskytne chýbajúcu hodnotu pre druhú zložku.

  • Ak by ste napríklad potrebovali zistiť, koľko litrov 20% fyziologického roztoku a koľko litrov 15% fyziologického roztoku potrebujete skombinovať, aby ste získali 5 litrov 18% roztoku, potom
    x{\displaystyle x}

    vám povie, koľko litrov prvého roztoku potrebujete, a

    y{\displaystyle y}

    vám povie, koľko litrov druhého roztoku potrebujete. Takže ak

    x=3{\displaystyle x=3}

    a

    y=2{\displaystyle y=2}

    , potrebujete 3 litre 20% roztoku a 2 litre 18% roztoku.

Časť 4 zo 4:Aplikácia konceptu na cenové problémy


Určite dve „zložky.“ Toto budú dve položky, ktoré sa kombinujú. Môžu to byť zložky potravín alebo položky s rôznou cenou, napríklad lístky.[5]

  • Môžete sa napríklad pokúsiť vyriešiť nasledujúcu úlohu: Študentská rada predáva na školskom plese 100 pohárov punču. Punč je vyrobený z kombinácie ovocnej šťavy a citrónovo-limetkovej sódy. Chcú predávať každý pohár punču za 1 $.00. Za normálnych okolností by predávali pohár ovocnej šťavy za 1 USD.15 a šálka citrónovo-limetkovej sódy za 0 USD.75. Koľko šálok každej ingrediencie by mala študentská rada použiť na výrobu punču?
  • V tomto probléme sú ovocná šťava a citrónovo-limetková sóda dve zložky.


Vyplňte prvý stĺpec tabuľky. V prvom stĺpci bude množstvo každej zložky vo výslednej zmesi a celkové množstvo zmesi. Pravdepodobne budete musieť použiť premenné.

  • Napríklad, keďže viete, že študentská rada plánuje vyrobiť 100 šálok punču, do tretieho riadku prvého stĺpca napíšete 100.
  • Pre ovocnú šťavu by ste napísali premennú
    x{\displaystyle x}

    , pretože neviete, koľko ovocnej šťavy bude v konečnej zmesi.

  • Pre citrónovo-limetkovú sódu by ste napísali
    100x{\displaystyle 100-x}

    , pretože toto množstvo bude rozdiel medzi množstvom celkovej zmesi a množstvom druhej zložky.


Vyplňte druhý stĺpec tabuľky. Toto bude jednotková cena každej zložky v zmesi a jednotková cena zmesi.[6]

  • Napríklad viete, že punč sa bude predávať za 1 $.00 na šálku, takže do druhého stĺpca pre zmes napíšeme 1. Ovocná šťava sa predáva za 1 USD.15 na šálku, takže napíšte 1.15 v druhom stĺpci pre túto zložku. Sóda sa predáva za 0 USD.75 na šálku, takže napíšte 0.75 v druhom stĺpci pre citrónovo-limetkovú sódu.


Vyplňte tretí stĺpec grafu. Tento stĺpec bude predstavovať celkovú cenu každej zložky v celkovej zmesi, ako aj celkovú cenu zmesi. Na výpočet vynásobte hodnoty v prvom a druhom stĺpci pre každú zložku.

  • Napríklad, keďže sa vyrobí 100 šálok punču a každá šálka bude stáť 1 USD.00, celková cena dierovača je
    100×1=100{\displaystyle 100\times 1=100}

    .

  • Keďže existuje
    x{\displaystyle x}

    šálok ovocnej šťavy v punči a cena ovocnej šťavy je 1 USD.15 za šálku, celková cena ovocnej šťavy v zmesi je

    1.15x{\displaystyle 1.15x}

    .

  • Keďže je
    100x{\displaystyle 100-x}

    šálok sódy v punči a cena sódy je 0 USD.75 za šálku, celková cena sódy v zmesi je

    0.75(100x){\displaystyle 0.75(100-x)}

    . Zjednodušenie pomocou distribučnej vlastnosti znamená

    75.75x{\displaystyle 75-.75x}

    .


Nastavte rovnicu. Riešenie pre

x{\displaystyle x}

vytvorte rovnicu pomocou tretieho stĺpca tabuľky. Hodnoty v prvom a druhom riadku tretieho stĺpca sa sčítajú s hodnotou v treťom riadku tretieho stĺpca.

  • Napríklad,
    (1.15x)+(75.75x)=100{\displaystyle (1.15x)+(75-.75x)=100}

    .


Vyriešte rovnicu. Na tento účel izolujte premennú pomocou pravidiel normálnej algebry. Nezabudnite rovnicu vyvážiť doplnením výpočtov na obe strany.

  • Napríklad na vyriešenie
    x{\displaystyle x}

    , by ste najprv skombinovali takto

    x{\displaystyle x}

    členov, potom od oboch strán rovnice odčítajte 75 a potom obe strany vydeľte .4:

    (1.15x)+(75.75x)=100{\displaystyle (1.15x)+(75-.75x)=100}

    (1.15x.75x)+(75)=100{\displaystyle (1.15x-.75x)+(75)=100}

    .4x+75=100{\displaystyle .4x+75=100}

    .4x+7575=10075{\displaystyle .4x+75-75=100-75}

    .4x=25{\displaystyle .4x=25}

    .4x.4=25.4{\displaystyle {\frac {.4x}{.4}}={\frac {25}{.4}}}

    x=62.5{\displaystyle x=62.5}

  • Nájdite chýbajúce množstvá jednotlivých zložiek. Ak to chcete urobiť, zapojte hodnotu

    x{\displaystyle x}

    do tabuľky a dokončite všetky potrebné výpočty.

    • Napríklad, keďže
      x=62.5{\displaystyle x=62.5}

      , študentská rada by mala použiť 62.5 šálok ovocnej šťavy v punči a

      10062.5{\displaystyle 100-62.5}

      , alebo 37.5, šálok citrónovo-limetkovej sódy v punči.

  • Odkazy