Ako vyvážiť chemické rovnice pomocou lineárnej algebry: 8 krokov

Vyvažovanie chemických rovníc sa zvyčajne vykonáva tak, že najprv určíte nezvyčajné prvky v zlúčeninách a dopracujete sa k vodíku a kyslíku. Existuje aj pomalší, ale systematickejší prístup pomocou lineárnej algebry.

Kroky

Určte rovnicu na vyváženie.

  • H3PO4+(NH4)2MoO4+HNO3(NH4)3PO412MoO3+NH4NO3+H2O{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {H} _{3}\mathrm {PO} _{4}+(\mathrm {NH} _{4})_{2}\mathrm {MoO} _{4}+\mathrm {HNO} _{3}\&\to (\mathrm {NH} _{4})_{3}\mathrm {PO} _{4}\cdot 12\,\mathrm {MoO} _{3}+\mathrm {NH} _{4}\mathrm {NO} _{3}+\mathrm {H} _{2}\mathrm {O} \end{aligned}}

Identifikujte prvky. Počet prvkov prítomných v rovnici určuje, koľko riadkov budú mať vektory a matice, ktoré budeme konštruovať. Nižšie uvedené poradie zodpovedá poradiu riadkov.

  • H{\displaystyle \mathrm {H} }

    – Vodík

  • P{\displaystyle \mathrm {P} }

    – Fosfor

  • O{\displaystyle \mathrm {O} }

    – Kyslík

  • N{\displaystyle \mathrm {N} }

    – Dusík

  • Mo{\displaystyle \mathrm {Mo} }

    – Molybdén

Stanovte vektorovú rovnicu. Vektorová rovnica pozostáva zo stĺpcových vektorov zodpovedajúcich každej zlúčenine v rovnici. Každý vektor má zodpovedajúci koeficient, označený ako

x1{\displaystyle x_{1}}

na

x6,{\displaystyle x_{6},}

pre ktorú riešime. Uistite sa, že ste pochopili, ako sa počíta počet atómov v molekule.

  • x1(31400)+x2(80421)+x3(10310)=x4(12140312)+x5(40320)+x6(20100){\displaystyle x_{1}{\begin{pmatrix}3\\1\\4\\0\\0\end{pmatrix}}+x_{2}{\begin{pmatrix}8\\0\\4\\2\\1\end{pmatrix}}+x_{3}{\begin{pmatrix}1\\0\\3\\1\\0\end{pmatrix}}=x_{4}{\begin{pmatrix}12\\1\\40\\3\\12\end{pmatrix}}+x_{5}{\begin{pmatrix}4\\0\\3\\2\\0\end{pmatrix}}+x_{6}{\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}}

Nastavte rovnicu na 0 a získajte rozšírenú maticu. Tu je potrebné zvážiť dva hlavné body. Najprv si uvedomte, že vektorová rovnica, ako je tá vyššie uvedená, má rovnakú množinu riešení ako lineárny systém s príslušnou rozšírenou maticou. Toto je základná myšlienka lineárnej algebry. Po druhé, ak sú všetky prírastky rovné 0, redukcia riadkov nemení prírastky. Preto ich vôbec nemusíme zapisovať – stačí riadková redukcia matice koeficientov.

  • Všimnite si, že presunutie všetkého na ľavú stranu spôsobí negáciu prvkov na pravej strane.
  • (381124210010044340310213200101200){\displaystyle {\begin{pmatrix}3&8&1&-12&-4&-2\\1&0&0&-1&0&0\\4&4&3&-40&-3&-1\\0&2&1&-3&-2&0\\0&1&0&-12&0&0\end{pmatrix}}

Redukcia riadkov na redukovanú formu riadkov a echelónov. Pre takúto maticu sa odporúča použiť kalkulačku, hoci ručná redukcia riadkov je vždy možnosťou, aj keď pomalšou.

  • (100001/12010001001007/4000101/12000017/4){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&-1/12\\0&1&0&0&0&-1\\0&0&1&0&0&-7/4\\0&0&0&1&0&-1/12\\0&0&0&0&1&-7/4\end{pmatrix}}
  • Je zrejmé, že existuje voľná premenná
    x6{\displaystyle x_{6}}

    tu. Tí, ktorí majú bystrú myseľ, by to videli, pretože je tu viac premenných ako rovníc, a teda viac stĺpcov ako riadkov. Táto voľná premenná znamená, že

    x6{\displaystyle x_{6}}

    môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu a výsledná kombinácia

    x1{\displaystyle x_{1}}

    na

    x5{\displaystyle x_{5}}

    by bolo platným riešením (našej lineárnej sústavy, to znamená – chemická rovnica vedie k ďalším obmedzeniam v tejto množine riešení).

Preparametrizujte voľnú premennú a vyriešte premenné. Nastavme

x6=t.{\displaystyle x_{6}=t.}

Keďže pre kladné hodnoty

t,{\displaystyle t,}

žiadna z premenných sa nestane zápornou, takže sme na správnej ceste.

  • x1=t/12{\displaystyle x_{1}=t/12}
  • x2=t{\displaystyle x_{2}=t}
  • x3=7t/4{\displaystyle x_{3}=7t/4}
  • x4=t/12{\displaystyle x_{4}=t/12}
  • x5=7t/4{\displaystyle x_{5}=7t/4}
  • x6=t{\displaystyle x_{6}=t}

Nahraďte vhodnú hodnotu pre

t{\displaystyle t}

. Nezabudnite, že koeficienty v chemickej rovnici musia byť celé čísla. Preto nastavte

t=12,{\displaystyle t=12,}

najmenší spoločný násobok. Z našej množiny riešení je zrejmé, že hoci existuje nekonečný počet riešení, ako by sme očakávali, napriek tomu je počítateľne nekonečná množina.

  • x1=1{\displaystyle x_{1}=1}
  • x2=12{\displaystyle x_{2}=12}
  • x3=21{\displaystyle x_{3}=21}
  • x4=1{\displaystyle x_{4}=1}
  • x5=21{\displaystyle x_{5}=21}
  • x6=12{\displaystyle x_{6}=12}
  • Nahraďte koeficienty do chemickej rovnice. Rovnica je teraz vyvážená.

    • H3PO4+12(NH4)2MoO4+21HNO3(NH4)3PO412MoO3+21NH4NO3+12H2O{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {H} _{3}\mathrm {PO} _{4}+12\,(\mathrm {NH} _{4})_{2}\mathrm {MoO} _{4}+21\,\mathrm {HNO} _{3}\&\to (\mathrm {NH} _{4})_{3}\mathrm {PO} _{4}\cdot 12\,\mathrm {MoO} _{3}+21\,\mathrm {NH} _{4}\mathrm {NO} _{3}+12\,\mathrm {H} _{2}\mathrm {O} \end{aligned}}}