Ako vyvážiť chemické rovnice pomocou lineárnej algebry: 8 krokov

Vyvažovanie chemických rovníc sa zvyčajne vykonáva tak, že najprv určíte nezvyčajné prvky v zlúčeninách a dopracujete sa k vodíku a kyslíku. Existuje aj pomalší, ale systematickejší prístup pomocou lineárnej algebry.

Kroky

Určte rovnicu na vyváženie.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {H} _{3}\mathrm {PO} _{4}+(\mathrm {NH} _{4})_{2}\mathrm {MoO} _{4}+\mathrm {HNO} _{3}\&\to (\mathrm {NH} _{4})_{3}\mathrm {PO} _{4}\cdot 12\,\mathrm {MoO} _{3}+\mathrm {NH} _{4}\mathrm {NO} _{3}+\mathrm {H} _{2}\mathrm {O} \end{aligned}}$

Identifikujte prvky. Počet prvkov prítomných v rovnici určuje, koľko riadkov budú mať vektory a matice, ktoré budeme konštruovať. Nižšie uvedené poradie zodpovedá poradiu riadkov.

• ${\displaystyle \mathrm {H} }$

  – Vodík

• ${\displaystyle \mathrm {P} }$

  – Fosfor

• ${\displaystyle \mathrm {O} }$

  – Kyslík

• ${\displaystyle \mathrm {N} }$

  – Dusík

• ${\displaystyle \mathrm {Mo} }$

  – Molybdén

Stanovte vektorovú rovnicu. Vektorová rovnica pozostáva zo stĺpcových vektorov zodpovedajúcich každej zlúčenine v rovnici. Každý vektor má zodpovedajúci koeficient, označený ako

${\displaystyle x_{1}}$

na

${\displaystyle x_{6},}$

pre ktorú riešime. Uistite sa, že ste pochopili, ako sa počíta počet atómov v molekule.

• ${\displaystyle x_{1}{\begin{pmatrix}3\\1\\4\\0\\0\end{pmatrix}}+x_{2}{\begin{pmatrix}8\\0\\4\\2\\1\end{pmatrix}}+x_{3}{\begin{pmatrix}1\\0\\3\\1\\0\end{pmatrix}}=x_{4}{\begin{pmatrix}12\\1\\40\\3\\12\end{pmatrix}}+x_{5}{\begin{pmatrix}4\\0\\3\\2\\0\end{pmatrix}}+x_{6}{\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}}$

Nastavte rovnicu na 0 a získajte rozšírenú maticu. Tu je potrebné zvážiť dva hlavné body. Najprv si uvedomte, že vektorová rovnica, ako je tá vyššie uvedená, má rovnakú množinu riešení ako lineárny systém s príslušnou rozšírenou maticou. Toto je základná myšlienka lineárnej algebry. Po druhé, ak sú všetky prírastky rovné 0, redukcia riadkov nemení prírastky. Preto ich vôbec nemusíme zapisovať – stačí riadková redukcia matice koeficientov.

• Všimnite si, že presunutie všetkého na ľavú stranu spôsobí negáciu prvkov na pravej strane.
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&8&1&-12&-4&-2\\1&0&0&-1&0&0\\4&4&3&-40&-3&-1\\0&2&1&-3&-2&0\\0&1&0&-12&0&0\end{pmatrix}}$

Redukcia riadkov na redukovanú formu riadkov a echelónov. Pre takúto maticu sa odporúča použiť kalkulačku, hoci ručná redukcia riadkov je vždy možnosťou, aj keď pomalšou.

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&-1/12\\0&1&0&0&0&-1\\0&0&1&0&0&-7/4\\0&0&0&1&0&-1/12\\0&0&0&0&1&-7/4\end{pmatrix}}$
• Je zrejmé, že existuje voľná premenná
  ${\displaystyle x_{6}}$

  tu. Tí, ktorí majú bystrú myseľ, by to videli, pretože je tu viac premenných ako rovníc, a teda viac stĺpcov ako riadkov. Táto voľná premenná znamená, že

  ${\displaystyle x_{6}}$

  môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu a výsledná kombinácia

  ${\displaystyle x_{1}}$

  na

  ${\displaystyle x_{5}}$

  by bolo platným riešením (našej lineárnej sústavy, to znamená – chemická rovnica vedie k ďalším obmedzeniam v tejto množine riešení).

Preparametrizujte voľnú premennú a vyriešte premenné. Nastavme

${\displaystyle x_{6}=t.}$

Keďže pre kladné hodnoty

${\displaystyle t,}$

žiadna z premenných sa nestane zápornou, takže sme na správnej ceste.

• ${\displaystyle x_{1}=t/12}$
• ${\displaystyle x_{2}=t}$
• ${\displaystyle x_{3}=7t/4}$
• ${\displaystyle x_{4}=t/12}$
• ${\displaystyle x_{5}=7t/4}$
• ${\displaystyle x_{6}=t}$

Nahraďte vhodnú hodnotu pre

$$t{\displaystyle t}

. Nezabudnite, že koeficienty v chemickej rovnici musia byť celé čísla. Preto nastavte

${\displaystyle t=12,}$

najmenší spoločný násobok. Z našej množiny riešení je zrejmé, že hoci existuje nekonečný počet riešení, ako by sme očakávali, napriek tomu je počítateľne nekonečná množina.

• ${\displaystyle x_{1}=1}$
• ${\displaystyle x_{2}=12}$
• ${\displaystyle x_{3}=21}$
• ${\displaystyle x_{4}=1}$
• ${\displaystyle x_{5}=21}$
• ${\displaystyle x_{6}=12}$

Nahraďte koeficienty do chemickej rovnice. Rovnica je teraz vyvážená.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {H} _{3}\mathrm {PO} _{4}+12\,(\mathrm {NH} _{4})_{2}\mathrm {MoO} _{4}+21\,\mathrm {HNO} _{3}\&\to (\mathrm {NH} _{4})_{3}\mathrm {PO} _{4}\cdot 12\,\mathrm {MoO} _{3}+21\,\mathrm {NH} _{4}\mathrm {NO} _{3}+12\,\mathrm {H} _{2}\mathrm {O} \end{aligned}}}$