Ako zapísať Maxwellove rovnice vo forme potenciálov: 10 krokov

Slávne Maxwellove rovnice spolu s Lorentzovým silovým zákonom opisujú elektrodynamiku veľmi stručne. To, čo sa zdá byť štyrmi elegantnými rovnicami, je však v skutočnosti osem parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré sa vzhľadom na hustotu náboja ťažko riešia

ρ{\displaystyle \rho }

a prúdová hustota

J,{\displaystyle \mathbf {J} ,}

keďže Faradayov zákon a Ampereov-Maxwellov zákon sú vektorové rovnice, každá s tromi zložkami. Preformulovanie Maxwellových rovníc v zmysle vektorových a skalárnych potenciálov umožňuje riešiť elektrické pole

E{\displaystyle \mathbf {E} }

a magnetického poľa

B{\displaystyle \mathbf {B} }

oveľa jednoduchšie. V kvantovej elektrodynamike sa rovnice formulujú takmer výlučne v pojmoch potenciálov, a nie samotných polí. Ukážeme si, ako zapísať Maxwellove rovnice vo forme potenciálov a prejdeme si meracie transformácie na zjednodušenie rovníc.

Časť 1 z 2:Prepisovanie pomocou potenciálov

Začnite Maxwellovými rovnicami. Pod,

ϵ0{\displaystyle \epsilon _{0}}

a

μ0{\displaystyle \mu _{0}}

sú elektrické a magnetické konštanty (pracujeme v jednotkách SI).

  • E=ρϵ0B=0×E=Bt×B=μ0J+μ0ϵ0Et{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}\end{aligned}}

Definujte magnetický potenciál. Z Gaussovho zákona magnetizmu vidíme, že magnetické polia sú bez divergencie prostredníctvom

B=0.{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}

Vo vektorovom počte platí veta, že divergencia krivky je vždy nulová. Preto môžeme prepísať

B{\displaystyle \mathbf {B} }

v zmysle magnetického potenciálu

A.{\displaystyle \mathbf {A} .}
  • B=×A{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
  • Odtiaľ vidíme, že magnetický potenciál je vektorový potenciál. Táto definícia automaticky spĺňa Gaussov zákon magnetizmu prostredníctvom vyššie uvedenej vektorovej identity
    (×F)=0.{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}

Prepíšte Faradayov zákon v zmysle magnetického potenciálu. Spomeňte si ešte na elektrostatiku, že

E{\displaystyle \mathbf {E} }

bolo konzervatívne pole (i.e.

×E=0{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}

), čo nám umožnilo zapísať ho v termínoch skalárneho potenciálu

E=ϕ.{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi .}

V elektrodynamike,

E{\displaystyle \mathbf {E} }

už nie je konzervatívna, kvôli prítomnosti meniaceho sa

B{\displaystyle \mathbf {B} }

poľa vyvolaného pohybujúcimi sa nabitými časticami. Nahradením

B=×A{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }

do Faradayovho zákona vráti rovnicu, z ktorej môžeme vziať skalárny gradient. Tým naša definícia potenciálu automaticky spĺňa ďalšiu z Maxwellových rovníc.

  • ×E=t(×A)×E=×At×(E+At)=0{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla &\čas \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \čas \mathbf {A} )\\nabla &\časy \mathbf {E} =\nabla \časy -{\frac {\časový \mathbf {A} }{\časový t}}\\nabla &\times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0\end{aligned}}}
  • Teraz môžeme zapísať veličinu v zátvorkách v zmysle skalárneho potenciálu.
    • E+At=ϕ{\displaystyle \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-\nabla \phi }
  • Riešte pre
    E{\displaystyle \mathbf {E} }

    na získanie elektrického poľa vo forme potenciálov.

    • E=ϕAt{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

Gaussov zákon prepíšte v termínoch potenciálov. Teraz, keď sme skončili s dvoma homogénnymi rovnicami, môžeme pracovať s ďalšími dvoma.

  • (ϕAt)=ρϵ02ϕt(A)=ρϵ0{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}right)&={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\-\nabla ^{2}\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {A} )&={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}koniec{zarovnané}}

Ampérov-Maxwellov zákon prepíšte v zmysle potenciálov.

  • ×(×A)=μ0J+μ0ϵ0t(ϕAt){\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\pravá)}
  • Využite identitu BAC-CAB. V prípade vektorového výpočtu to znie takto
    ×(×F)=(F)2F.{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} .}
    • (A)2A=μ0Jμ0ϵ0(ϕt)μ0ϵ02At2{\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\epsilon _{0}\nabla \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\časť t^{2}}}}
  • Usporiadajte tak, aby Laplaciánov a gradientový člen boli spolu.
    • (μ0ϵ02At22A)+(A+μ0ϵ0ϕt)=μ0J{\displaystyle \left(\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {A} \pravá)+\nabla \ľavá(\nabla \cdot \mathbf {A} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\pravá)=\mu _{0}\mathbf {J} }
  • Prepisom Gaussovho zákona a Ampérovho-Maxwellovho zákona v termínoch potenciálov sme zredukovali Maxwellove rovnice zo štyroch rovníc na dve. Okrem toho sme počet zložiek zredukovali len na štyri – skalárny potenciál a tri zložky vektorového potenciálu.
  • Nikto sa však nikdy nestretne s Maxwellovými rovnicami zapísanými takto.

2. časť z 2:Gauge transformácie

Zopakujte si definície skalárneho a vektorového potenciálu. Ukazuje sa, že

A{\displaystyle \mathbf {A} }

a

ϕ{\displaystyle \phi }

nie sú jednoznačne definované, pretože príslušná zmena týchto veličín vedie k rovnakému

E{\displaystyle \mathbf {E} }

a

B{\displaystyle \mathbf {B} }

polia. Tieto zmeny potenciálov sa nazývajú meracie transformácie. V tejto časti uvedieme dve najbežnejšie meracie transformácie, ktoré výrazne zjednodušujú Maxwellove rovnice.

Zohľadnite voľnosť merania. Označme zmeny ako

α{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}

a

β.{\displaystyle \beta .}
  • AA+αϕϕ+β{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &\to \mathbf {A} +{\tučný symbol {\alfa }}\\\phi &\to \phi +\beta \end{aligned}}
  • Ak vektorové potenciály dávajú rovnaké
    B,{\displaystyle \mathbf {B} ,}

    potom

    ×α=0.{\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {\alpha }}=0.}

    Potom môžeme napísať

    α{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}

    v zmysle skalára

    χ.{\\displaystyle \chi .}
    • α=χ{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\nabla \chi }
  • Podobne, ak oba potenciály dávajú rovnaké
    E,{\displaystyle \mathbf {E} ,}

    potom

    β+αt=0.{\displaystyle \nabla \beta +{\frac {\partial {\boldsymbol {\alpha }}}{\partial t}}=0.}
    • (β+χt)=0{\displaystyle \nabla \left(\beta +{\frac {\partial \chi }{\partial t}}right)=0}
  • Riešenie pre
    β{\displaystyle \beta }

    integráciou oboch strán pridá konštantu, ktorá závisí od času. Táto konštanta však nemá vplyv na gradient

    χ,{\displaystyle \chi ,}

    takže ho môžeme zanedbať.

    • β=χt{\displaystyle \beta =-{\frac {\partial \chi }{\partial t}}

Prepíšte slobody meradiel v zmysle

χ{\displaystyle \chi }

. Vhodnou manipuláciou s týmito transformáciami môžeme zmeniť divergenciu

A{\displaystyle \mathbf {A} }

na zjednodušenie Maxwellových rovníc voľbou a

χ{\displaystyle \chi }

ktorý spĺňa požadované podmienky.

  • AA+χϕϕχt{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &\to \mathbf {A} +\nabla \chi \\\phi &\to \phi -{\frac {\časť \chi }{\časť t}}}koniec{zarovnané}}

Získanie Coulombovho meradla. Súbor

A=0.{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0.}
  • 2ϕ=ρϵ0{\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
  • (μ0ϵ02At22A)+μ0ϵ0(ϕt)=μ0J{\displaystyle \left(\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {A} \pravo)+\mu _{0}\epsilon _{0}\nabla \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}pravo)=\mu _{0}\mathbf {J} }
  • Toto je Coulombovo meradlo, čím sa skalárna potenciálová rovnica redukuje na Poissonovu rovnicu, ale vzniká pomerne komplikovaná vektorová potenciálová rovnica.
  • Získanie Lorenzovho meradla. Súbor

    A=μ0ϵ0ϕt.{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}.}
    • μ0ϵ02ϕt22ϕ=ρϵ0{\displaystyle \mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
    • μ0ϵ02At22A=μ0J{\displaystyle \mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }
    • Toto je Lorenzovo meradlo, čo vedie k zjavnej Lorentzovej kovariancii. Obe potenciálové rovnice majú teraz rovnaký tvar nehomogénnej vlnovej rovnice.