Ako zistiť súčet aritmetickej postupnosti: 10 krokov

Aritmetická postupnosť je rad čísel, v ktorom každý člen narastá o konštantnú hodnotu. Ak chcete zrátať čísla v aritmetickej postupnosti, môžete ručne sčítať všetky čísla. To je však nepraktické, ak postupnosť obsahuje veľké množstvo čísel. Namiesto toho môžete rýchlo zistiť súčet ľubovoľnej aritmetickej postupnosti vynásobením priemeru prvého a posledného člena počtom členov v postupnosti.

Časť 1 z 3:Posúdenie vašej postupnosti


Uistite sa, že máte aritmetickú postupnosť. Aritmetická postupnosť je usporiadaný rad čísel, v ktorom je zmena čísel konštantná.[1]
Táto metóda funguje len vtedy, ak je vaša množina čísel aritmetickou postupnosťou.

  • Ak chcete určiť, či máte aritmetickú postupnosť, zistite rozdiel medzi prvými a poslednými číslami. Zabezpečte, aby bol rozdiel vždy rovnaký.
  • Napríklad rad 10, 15, 20, 25, 30 je aritmetická postupnosť, pretože rozdiel medzi jednotlivými členmi je konštantný (5).


Určite počet členov postupnosti. Každé číslo je členom. Ak je uvedených len niekoľko členov, môžete ich spočítať. V opačnom prípade, ak poznáte prvý termín, posledný termín a spoločný rozdiel (rozdiel medzi jednotlivými termínmi), môžete použiť vzorec na zistenie počtu termínov. Nech je toto číslo reprezentované premennou

n{\displaystyle n}

.

  • Ak napríklad počítate súčet postupnosti 10, 15, 20, 25, 30,
    n=5{\displaystyle n=5}

    , keďže v postupnosti je 5 členov.


Určite prvý a posledný člen postupnosti. Na výpočet súčtu aritmetickej postupnosti potrebujete poznať obe tieto čísla. Prvé čísla budú často 1, ale nie vždy. Nech je premenná

a1{\displaystyle a_{1}}

rovná prvému členovi postupnosti a

an{\displaystyle a_{n}}

sa rovná poslednému členovi postupnosti.

  • Napríklad v postupnosti 10, 15, 20, 25, 30
    a1=10{\displaystyle a_{1}=10}

    , a

    an=30{\displaystyle a_{n}=30}

    .

Časť 2 z 3:Výpočet súčtu


Nastavte vzorec na zistenie súčtu aritmetickej postupnosti. Vzorec je

Sn=n(a1+an2){\displaystyle S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})}

, kde

Sn{\displaystyle S_{n}}

rovná súčtu postupnosti.[2]

  • Všimnite si, že tento vzorec udáva, že súčet aritmetickej postupnosti sa rovná priemeru prvého a posledného člena vynásobenému počtom členov.[3]


Zapojte hodnoty

n{\displaystyle n}

,

a1{\displaystyle a_{1}}

, a

an{\displaystyle a_{n}}

do vzorca. Uistite sa, že ste vykonali správne substitúcie.

  • Ak máte v postupnosti napríklad 5 členov, pričom prvý člen je 10 a posledný člen je 30, váš vzorec bude vyzerať takto:
    Sn=5(10+302){\displaystyle S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})}

    .


Vypočítajte priemer prvého a druhého termínu. Na tento účel spočítajte tieto dve čísla a vydeľte ich číslom 2.

  • Napríklad:
    Sn=5(402){\displaystyle S_{n}=5({\frac {40}{2}})}

    Sn=5(20){\displaystyle S_{n}=5(20)}


Vynásobte priemer počtom členov radu. Takto získame súčet aritmetickej postupnosti.

  • Napríklad:
    Sn=5(20){\displaystyle S_{n}=5(20)}

    Sn=100{\displaystyle S_{n}=100}

    Takže súčet postupnosti 10, 15, 20, 25, 30 je 100.

Časť 3 z 3:Dokončenie vzorových úloh


Nájdite súčet čísel od 1 do 500. Uvažujme všetky po sebe idúce celé čísla.

  • Určte počet členov (
    n{\displaystyle n}

    ) v postupnosti. Keďže uvažujete všetky po sebe idúce celé čísla do 500,

    n=500{\displaystyle n=500}

    .

  • Určte prvý (
    a1{\displaystyle a_{1}}

    ) a posledný (

    an{\displaystyle a_{n}}

    ) členov v postupnosti. Keďže postupnosť je 1 až 500,

    a1=1{\displaystyle a_{1}=1}

    a

    an=500{\displaystyle a_{n}=500}

    .

  • Nájdite priemer
    a1{\displaystyle a_{1}}

    a

    an{\displaystyle a_{n}}

    :

    1+5002=250.5{\displaystyle {\frac {1+500}{2}}=250.5}

    .

  • Vynásobte priemer
    n{\displaystyle n}

    :

    250.5×500=125,250{\displaystyle 250.5\times 500=125,250}

    .


Nájdite súčet opísanej aritmetickej postupnosti. Prvý člen v postupnosti je 3. Posledný člen postupnosti je 24. Spoločný rozdiel je 7.

  • Určte počet členov (
    n{\displaystyle n}

    ) v postupnosti. Keďže začínate číslom 3, končíte číslom 24 a zakaždým stúpate o 7, rad je 3, 10, 17, 24. (Spoločný rozdiel je rozdiel medzi jednotlivými členmi postupnosti.)[4]
    To znamená, že

    n=4{\displaystyle n=4}
  • Určte prvý (
    a1{\displaystyle a_{1}}

    ) a posledné (

    an{\displaystyle a_{n}}

    ) členov v postupnosti. Keďže postupnosť je 3 až 24,

    a1=3{\displaystyle a_{1}=3}

    a

    an=24{\displaystyle a_{n}=24}

    .

  • Nájdite priemer
    a1{\displaystyle a_{1}}

    a

    an{\displaystyle a_{n}}

    :

    3+242=13.5{\displaystyle {\frac {3+24}{2}}=13.5}

    .

  • Vynásobte priemer
    n{\displaystyle n}

    :

    13.5×4=54{\displaystyle 13.5\times 4=54}

    .


  • Vyriešte nasledujúci problém. Mara ušetrí 5 dolárov v prvom týždni roka. Po zvyšok roka zvyšuje svoje týždenné úspory každý týždeň o 5 dolárov. Koľko peňazí ušetrí Mara do konca roka?

    • Určte počet členov (
      n{\displaystyle n}

      ) v postupnosti. Keďže Mara šetrila 52 týždňov (1 rok),

      n=52{\displaystyle n=52}

      .

    • Určiť prvú (
      a1{\displaystyle a_{1}}

      ) a posledná (

      an{\displaystyle a_{n}}

      ) členov v postupnosti. Prvá suma, ktorú ušetrí, je 5 dolárov, takže

      a1=5{\displaystyle a_{1}=5}

      . Ak chcete zistiť sumu, ktorú ušetrí posledný týždeň v roku, vypočítajte

      5×52=260{\displaystyle 5\times 52=260}

      . Takže

      an=260{\displaystyle a_{n}=260}

      .

    • Nájdite priemer
      a1{\displaystyle a_{1}}

      a

      an{\displaystyle a_{n}}

      :

      5+2602=132.5{\displaystyle {\frac {5+260}{2}}=132.5}

      .

    • Vynásobte priemer
      n{\displaystyle n}

      :

      132.5×52=6,890{\displaystyle 132.5\times 52=6,890}

      . Takže do konca roka ušetrí 6 890 dolárov.

  • Odkazy