Ako zjednodušiť zložené zlomky: 9 krokov (s obrázkami)

Zložené zlomky sú zlomky, v ktorých čitateľ, menovateľ alebo obidva zlomky obsahujú samé zlomky. Z tohto dôvodu sa zložené zlomky niekedy označujú ako „zložené zlomky“. Zjednodušovanie zložených zlomkov je proces, ktorý môže byť od jednoduchého až po zložitý, a to v závislosti od toho, koľko členov je v čitateli a menovateli, či sú niektoré z členov premenné, a ak áno, aká je zložitosť premenných členov. Pozri krok 1 nižšie, aby ste mohli začať!

Metóda 1 z 2:Zjednodušovanie zložených zlomkov pomocou inverzného násobenia


Ak je to potrebné, zjednodušte čitateľa a menovateľa na jednotlivé zlomky. Komplexné zlomky nie je nevyhnutne ťažké riešiť. V skutočnosti sa zložené zlomky, v ktorých čitateľ aj menovateľ obsahujú jeden zlomok, zvyčajne riešia pomerne ľahko. Ak teda čitateľ alebo menovateľ vášho zloženého zlomku (alebo obidva) obsahujú viacero zlomkov alebo zlomkov a celých čísel, zjednodušte ich podľa potreby tak, aby ste v čitateli aj menovateli získali jeden zlomok. To si môže vyžadovať nájdenie najmenšieho spoločného menovateľa (LCM) dvoch alebo viacerých zlomkov.

  • Povedzme napríklad, že chceme zjednodušiť zložený zlomok (3/5 + 2/15)/(5/7 – 3/10). Najprv by sme čitateľ aj menovateľ nášho zloženého zlomku zjednodušili na jednoduché zlomky.
    • Na zjednodušenie čitateľa použijeme LCM 15 vynásobením 3/5 číslom 3/3. Náš čitateľ sa stáva 9/15 + 2/15, čo sa rovná 11/15.
    • Na zjednodušenie menovateľa použijeme LCM 70 vynásobením 5/7 číslom 10/10 a 3/10 číslom 7/7. Náš menovateľ sa stane 50/70 – 21/70, čo sa rovná 29/70.
    • Náš nový komplexný zlomok je teda (11/15)/(29/70).


Prevrátiť menovateľa a nájsť jeho inverznú hodnotu. Podľa definície, delenie jedno číslo druhým je rovnaké ako vynásobenie prvého čísla inverzným číslom druhého. Teraz, keď sme získali zložený zlomok s jednoduchým zlomkom v čitateli aj menovateli, môžeme použiť túto vlastnosť delenia na zjednodušenie nášho zloženého zlomku! Najprv nájdite inverznú hodnotu zlomku v dolnej časti zloženého zlomku. Urobíme to tak, že zlomok „otočíme“ – jeho čitateľa postavíme na miesto menovateľa a naopak.

  • V našom príklade je zlomok v menovateli zloženého zlomku (11/15)/(29/70) 29/70. Ak chceme nájsť jeho inverznú hodnotu, jednoducho ju „otočíme“ a dostaneme 70/29.
    • Všimnite si, že ak má váš zložený zlomok v menovateli celé číslo, môžete s ním zaobchádzať ako so zlomkom a nájsť jeho inverziu rovnako. Napríklad, ak náš zložený zlomok bol (11/15)/(29), môžeme menovateľa definovať ako 29/1, čím vznikne jeho inverzný menovateľ 1/29.


Vynásobte čitateľa komplexného zlomku inverzným menovateľom. Teraz, keď ste získali inverzný menovateľ zloženého zlomku, vynásobte ho čitateľom, aby ste získali jednoduchý zlomok! Nezabudnite, že ak chceme vynásobiť dva zlomky, jednoducho ich vynásobíme naprieč – čitateľ nového zlomku je súčinom čitateľov dvoch starých zlomkov a podobne je to aj so menovateľom.

  • V našom príklade by sme vynásobili 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 a 15 × 29 = 435. Takže náš nový jednoduchý zlomok je 770/435.


Zjednodušte nový zlomok nájdením najväčšieho spoločného deliteľa. Teraz máme jeden jednoduchý zlomok, takže zostáva už len vyjadriť ho čo najjednoduchšie. Nájdite najväčší spoločný násobok (GCF) čitateľa a menovateľa a vydeľte obidva týmto číslom, aby ste zjednodušili.

  • Jeden spoločný násobok čísel 770 a 435 je 5. Ak teda vydelíme čitateľa a menovateľa nášho zlomku číslom 5, dostaneme 154/87. 154 a 87 nemajú žiadne spoločné činitele, takže vieme, že sme našli našu konečnú odpoveď!

Metóda 2 z 2:Zjednodušovanie zložených zlomkov obsahujúcich premenné členy


Ak je to možné, použite vyššie uvedenú metódu inverzného násobenia. Aby bolo jasné, prakticky každý zložený zlomok možno zjednodušiť tak, že jeho čitateľa a menovateľa zredukujeme na jednoduché zlomky a čitateľa vynásobíme inverzným číslom menovateľa. Zložené zlomky obsahujúce premenné nie sú výnimkou, avšak čím zložitejšie sú výrazy premenných v zloženom zlomku, tým zložitejšie a časovo náročnejšie je použiť inverzné násobenie. V prípade „jednoduchých“ zložených zlomkov obsahujúcich premenné je inverzné násobenie dobrou voľbou, ale zložené zlomky s viacerými premennými v čitateli a menovateli sa môžu ľahšie zjednodušiť pomocou alternatívnej metódy opísanej nižšie.

  • Napríklad (1/x)/(x/6) sa dá ľahko zjednodušiť inverzným násobením. 1/x × 6/x = 6/x2. V tomto prípade nie je potrebné použiť alternatívnu metódu.
  • Avšak (((1)/(x+3)) + x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5))) je náročnejšie zjednodušiť pomocou inverzného násobenia. Zredukovanie čitateľa a menovateľa tohto zloženého zlomku na jednoduché zlomky, inverzné vynásobenie a redukcia výsledku na najjednoduchší výraz bude pravdepodobne komplikovaný proces. V tomto prípade môže byť jednoduchšie použiť alternatívnu metódu uvedenú nižšie.


Ak je inverzné násobenie nepraktické, začnite hľadaním najmenšieho spoločného menovateľa zlomkových členov v komplexnom zlomku. Prvým krokom v tejto alternatívnej metóde zjednodušenia je nájsť LCD všetkých zlomkových členov v komplexnom zlomku – v jeho čitateli aj menovateli. Ak jeden alebo viacero zlomkových členov má v menovateľoch premenné, ich LCD je zvyčajne len súčinom ich menovateľov.

  • To je jednoduchšie pochopiť na príklade. Pokúsme sa zjednodušiť komplexný zlomok, ktorý sme uviedli vyššie, (((1)/(x+3)) + x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5))). Zlomky v tomto komplexnom zlomku sú (1)/(x+3) a (1)/(x-5). Spoločným menovateľom týchto dvoch zlomkov je súčin ich menovateľov: (x+3)(x-5).


Vynásobte čitateľa komplexného zlomku LCD, ktorý ste práve našli. Ďalej budeme musieť vynásobiť členy nášho komplexného zlomku LCD jeho zlomkových členov. Inými slovami, celý komplexný zlomok vynásobíme (LCD)/(LCD). Môžeme to urobiť voľne, pretože (LCD)/(LCD) sa rovná 1. Najprv vynásobte čitateľa samostatne.

  • V našom príklade by sme náš komplexný zlomok (((1)/(x+3)) + x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5))) vynásobili ((x+3)(x-5))/((x+3)(x-5)). Budeme musieť vynásobiť čitateľ a menovateľ zloženého zlomku, pričom každý člen vynásobíme (x+3)(x-5).
    • Najprv vynásobíme čitateľa: (((1)/(x+3)) + x – 10) × (x+3)(x-5)
      • = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) – 10((x+3)(x-5))
      • = (x-5) + (x(x2 – 2x – 15)) – (10(x2 – 2x – 15))
      • = (x-5) + (x3 – 2×2 – 15x) – (10×2 – 20x – 150)
      • = (x-5) + x3 – 12×2 + 5x + 150
      • = x3 – 12×2 + 6x + 145


Vynásobte menovateľa zloženého zlomku LCD, ako ste to urobili s čitateľom. Pokračujte v násobení komplexného zlomku nájdeným LCD tak, že prejdete do menovateľa. Vynásobte cez, pričom každý člen vynásobte LCD.

  • Menovateľ nášho komplexného zlomku (((1)/(x+3)) + x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5))) je x +4 +((1)/(x-5)). Vynásobíme to nájdeným LCD, (x+3)(x-5).
    • (x +4 +((1)/(x – 5))) × (x+3)(x-5)
    • = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
    • = x(x2 – 2x – 15) + 4(x2 – 2x – 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
    • = x3 – 2×2 – 15x + 4×2 – 8x – 60 + (x+3)
    • = x3 + 2×2 – 23x – 60 + (x+3)
    • = x3 + 2×2 – 22x – 57

  • Vytvorte nový, zjednodušený zlomok z čitateľa a menovateľa, ktoré ste práve našli. Po vynásobení vášho zlomku výrazom (LCD)/(LCD) a zjednodušení spojením podobných členov by vám mal zostať jednoduchý zlomok neobsahujúci žiadne zlomkové členy. Ako ste si mohli všimnúť, vynásobením cez LCD zlomkových členov v pôvodnom zloženom zlomku sa menovatele týchto zlomkov zrušia, takže v čitateli a menovateli vašej odpovede zostanú premenné členy a celé čísla, ale žiadne zlomky.

    • Pomocou čitateľa a menovateľa, ktoré sme našli vyššie, môžeme zostrojiť zlomok, ktorý sa rovná nášmu pôvodnému zloženému zlomku, ale ktorý neobsahuje žiadne zlomkové členy. Čitateľ, ktorý sme dostali, bol x3 – 12×2 + 6x + 145 a menovateľ bol x3 + 2×2 – 22x – 57, takže náš nový zlomok je (x3 – 12×2 + 6x + 145)/(x3 + 2×2 – 22x – 57)
  • Odkazy